Dada a função de concentração do antibiótico
[tex]C(t) = 8(e^{-0.41t}-e^{0.6t})[/tex]
Queremos obter o momento em que a concentração é máxima, ou seja, analisaremos o ponto a qual sua derivada é nula.
[tex]C'(t) = 8(-0.41e^{-0.41t}+0.6e^{-0.6t}) = 0[/tex]
[tex] -0.41e^{-0.41t}+0.6e^{-0.6t} = 0[/tex]
[tex]0.41e^{-0.41t} = 0.6e^{-0.6t}[/tex]
[tex]\dfrac{0.6}{0.41} = \dfrac{e^{0.6t}}{e^{0.41t}}[/tex]
[tex]e^{0.19t} = \dfrac{6}{4.1}[/tex]
[tex]0.19t = \ln\left(\dfrac{6}{4.1}\right)[/tex]
[tex]\therefore \, t = \dfrac{1}{0.19}\cdot \ln\left(\dfrac{6}{4.1}\right)[/tex]
[tex] t \approx 2[/tex]
Após 2 horas a concentração de antibiótico na corrente sanguínea se maximiza.
Se a concentração é máxima, então a segunda derivada deve ser negativa, o que realmente acontece, já que
[tex]C''(t) = 8(0.41^2e^{-0.41t}-0.6^2e^{-0.6t})[/tex]
[tex]C''(2) = 8(0.1681e^{-0.82}-0.36e^{-1.2}) \approx -0.28 [/tex]
