a)
Sendo [tex]p[/tex] o preço unitário dos produtos, [tex]x+y[/tex] a quantidade total vendida e [tex]C(x)+C(y)[/tex] o custo total de produção, a função lucro é dada por:
[tex]L(x,y)=p\cdot(x+y)-[C(x)+C(y)][/tex]
[tex]L(x,y)=[100-2(x+y)]\cdot(x+y)-C(x)-C(y)[/tex]
[tex]L(x,y)=100(x+y)-2(x+y)^2-3x-\frac{y^2}{2}[/tex]
[tex]L(x,y)=100x+100y-2x^2-4xy-2y^2-3x-\frac{y^2}{2}[/tex]
[tex]L(x,y)=-2x^2-\frac{5y^2}{2}-4xy+97x+100y[/tex]
b)
Para determinar estes valores, devemos calcular os pontos críticos da função lucro. Estes pontos são aqueles em que as suas derivadas parciais são nulas. Vamos então calcular as derivadas parciais:
[tex]\frac{\partial L}{\partial x}=-4x-4y+97[/tex]
[tex]\frac{\partial L}{\partial y}=-5y-4x+100[/tex]
Ficamos então com o seguinte sistema de equações:
[tex]\left\{\begin{matrix}\frac{\partial L}{\partial x}=0\\\\\frac{\partial L}{\partial y}=0\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}-4x-4y+97=0\\-5y-4x+100=0\end{matrix}\right.[/tex]
Isolando [tex]-4x[/tex] em ambas as equações, ficamos com a seguinte relação:
[tex]4y-97=5y-100[/tex]
[tex]y=3[/tex]
Substituindo [tex]y[/tex] em qualquer uma das duas equações, achamos que [tex]4x=97-12\therefore x=\frac{85}{4}[/tex]. Como [tex]x[/tex] é inteiro, aproximamos 85/4 para o inteiro mais próximo, ficando assim com [tex]x=21[/tex], concluindo assim que o lucro é máximo quando [tex](x,y)=(21,3)[/tex]
