FabioBtista
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[tex]\int\limits^0_1 {\frac{1,13}{x^2+6x+13} } \, dx[/tex]
Ajuda eu aí crânios

Sagot :

SubGui

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta integral, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a integral:

[tex]\displaystyle{\int_1^0\dfrac{1.13}{x^2+6x+13}\,dx}[/tex]

Podemos reescrever seus limites de integração, lembrando que [tex]\boxed{\displaystyle{\int_b^a f(x)\,dx\Leftrightarrow -\int_a^b f(x)\,dx}}[/tex].

Então, teremos:

[tex]\displaystyle{-\int_0^1\dfrac{1.13}{x^2+6x+13}\,dx}[/tex]

Aplique a propriedade da constante: [tex]\boxed{\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}}[/tex]

[tex]-1.13\cdot\displaystyle{\int_0^1\dfrac{dx}{x^2+6x+13}}[/tex].

Reescreva o denominador da seguinte forma: [tex]\dfrac{1}{x^2+6x+13}=\dfrac{1}{(x+3)^2+4}[/tex]

Assim, a integral se torna:

[tex]-1.13\cdot\displaystyle{\int_0^1\dfrac{dx}{(x+3)^2+4}}[/tex].

Lembre-se que [tex]\displaystyle{\int\dfrac{dx}{x^2+c^2}=\dfrac{1}{c}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{c}\right)}[/tex], logo teremos:

[tex]-1.13\cdot\displaystyle{\int_0^1\dfrac{dx}{(x+3)^2+2^2}}\\\\\\ -1.13\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\arctan\left(\dfrac{x+3}{2}\right)~\biggr|_0^1[/tex]

Aplique os limites de integração, de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: [tex]\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}[/tex].

[tex]-1.13\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(\arctan\left(\dfrac{1+3}{2}\right)-\arctan\left(\dfrac{0+3}{2}\right)\right)[/tex]

Some os valores e simplifique a fração. Multiplique os valores.

[tex]-\dfrac{1.13}{2}\cdot\left(\arctan(2)-\arctan\left(\dfrac{3}{2}\right)\right)[/tex].

Sabendo que [tex]\arctan(x)-\arctan(y)=\arctan\left(\dfrac{x-y}{1+x\cdot y}\right)[/tex], teremos:

[tex]-\dfrac{1.13}{2}\cdot\arctan\left(\dfrac{2-\dfrac{3}{2}}{1+2\cdot\dfrac{3}{2}}\right)[/tex]

Some os valores

[tex]-\dfrac{1.13}{2}\cdot\arctan\left(\dfrac{1}{8}\right)[/tex]

Este é o resultado desta integral.

MatiasHP

Olá, siga a explicação:

[tex]\boxed {\displaystyle \int\limits^a_b f(x) \: dx = - \displaystyle \int\limits^a_b f(x) \: dx, a <b } \\ \\ \\ = \displaystyle - \int\limits^1_0 \dfrac{1,13}{x^2 + 6x + 13} dx[/tex]

Remover a constante:

[tex]\boxed {\displaystyle \int\limits a \cdot f(x) dx= a \cdot \displaystyle \int\limits f(x) dx} \\ \\ \\= -1,13 \cdot \displaystyle \int\limits^1_0 \dfrac{1}{x^2 + 6x+ 13} dx[/tex]

Completar o quadrado:

[tex]\boxed {x^2 + 6x+13: \:\:\:\:\:\:\:\:(x+3)^2 + 4} \\ \\ \\= -1,13 \cdot \displaystyle \int\limits^1_0 \dfrac{1}{(x+3)^2 +4} dx[/tex]

Aplicar integração por substituição:

[tex]\boxed {u= x+3 }\\ \\ \\= -1,13 \cdot \displaystyle \int\limits^4_3 \dfrac{1}{u^2 + 4} du[/tex]

Adotar integração por substituição:

[tex]\boxed {u=2v}\\ \\ \\= -1,13 \cdot \displaystyle \int\limits^2_\frac{3}{2} \dfrac{1}{2(v^2+1)} dv[/tex]

Remover a constante:

[tex]\boxed {\displaystyle \int\limits a \cdot f(x) dx= a \cdot \displaystyle \int\limits f(x) dx} \\ \\ \\= -1,13 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \displaystyle \int\limits^2_\frac{3}{2} \dfrac{1}{v^2+1} dv[/tex]

Regras De Integração:

[tex]\boxed {\displaystyle \int\limits \dfrac{1}{v^2+1 } = \displaystyle {arctan (v)} }\\ \\ \\= -1,13 \cdot \dfrac{1}{2} [arctan (v) ]^2 _\frac{3}{2}[/tex]

Simplificar:

[tex]\boxed {-1,13 \cdot \dfrac{1}{2} [arctan (v) ]^2 _\frac{3}{2} : \:\:\:\:\:-0,565 [arctan (v) ]^2_{1,5} }[/tex]

Calcular os limites:

[tex]\boxed {[ arctan (v) ] ^2_{1,5} \: \: \: = 0,12435..} \\ \\ \\-0,565 \cdot 0,12435 ...[/tex]

Simplifica:

[tex]\boxed {=-0,07026}[/tex]

  • Att. MatiasHP

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