Answered

O Sistersinspirit.ca é o lugar ideal para obter respostas rápidas e precisas para todas as suas perguntas. Descubra respostas detalhadas para suas perguntas de uma vasta rede de profissionais em nossa abrangente plataforma de perguntas e respostas. Obtenha respostas detalhadas e precisas para suas perguntas de uma comunidade dedicada de especialistas em nossa plataforma de perguntas e respostas.

Dados os pontos A= (2, 1, 3) B= (1, 0, -1) e C= (-1, 2, 1), encontre a medida de cada um dos três ângulos internos do triângulo ABC

Sagot :

Zecol

Considerando os vetores [tex]\vec{AB}=(-1,-1,-4)[/tex], [tex]\vec{AC}=(-3,1,-2)[/tex] e [tex]\vec{BC}=(-2,2,2)[/tex] e seus respectivos comprimentos [tex]AB=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\text{ u.c}[/tex], [tex]AC=\sqrt{14}=\sqrt{7}\cdot\sqrt{2}\text{ u.c}[/tex] e [tex]BC=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\text{ u.c}[/tex], podemos calcular os ângulos internos do triângulo calculando o ângulos entre estes 3 vetores.

Sabe-se que o ângulo [tex]\theta[/tex] entre dois vetores [tex]\vec{u}[/tex] e [tex]\vec{v}[/tex] obedece à relação:

[tex]\vec{u}\cdot\vec{v}=u\cdot v\cdot\cos\theta[/tex]

Como estamos querendo ângulos de um triângulo, temos que [tex]0<\theta<180^\circ[/tex] então, para não nos preocuparmos com o sentido em que o vetor está, vamos utilizar a fórmula [tex]|\vec{u}\cdot\vec{v}|=u\cdot v\cdot\cos\theta[/tex], obtendo assim sempre o ângulo neste intervalo.

Começando com o ângulo [tex]\theta_1[/tex] entre [tex]\vec{AB}[/tex] e [tex]\vec{AC}[/tex]:

[tex]|\vec{AB}\cdot\vec{AC}|=AB\cdot AC\cdot\cos\theta_1[/tex]

[tex]|(-1,-1,-4)\cdot(-3,1,-2)|=3\sqrt{2}\cdot \sqrt{7}\cdot\sqrt{2}\cdot\cos\theta_1[/tex]

[tex]|3-1+8|=6\sqrt{7}\cos\theta_1[/tex]

[tex]10=6\sqrt{7}\cos\theta_1[/tex]

[tex]\cos\theta_1=\frac{5}{3\sqrt{7}}[/tex]

[tex]\theta_1=\arccos\left(\frac{5}{3\sqrt{7}}\right)\cong 50,954^\circ[/tex]

Indo agora para o ângulo [tex]\theta_2[/tex] entre [tex]\vec{AB}[/tex] e [tex]\vec{BC}[/tex]:

[tex]|\vec{AB}\cdot\vec{BC}|=AB\cdot BC\cdot\cos\theta_2[/tex]

[tex]|(-1,-1,-4)\cdot(-2,2,2)|=3\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot\cos\theta_2[/tex]

[tex]|2-2-8|=6\sqrt{6}\cdot\cos\theta_2[/tex]

[tex]8=6\sqrt{6}\cos\theta_2[/tex]

[tex]\cos\theta_2=\frac{4}{3\sqrt{6}}[/tex]

[tex]\theta_2=\arccos\left(\frac{4}{3\sqrt{6}}\right)\cong 57,021^\circ[/tex]

Como a soma dos ângulos internos do triângulo é igual a 180º, podemos obter o 3º ângulo [tex]\theta_3[/tex] da seguinte forma:

[tex]\theta_1+\theta_2+\theta_3=180^\circ[/tex]

[tex]\theta_3=180^\circ-\theta_1-\theta_2[/tex]

[tex]\theta_3=180^\circ-\arccos\left(\frac{5}{3\sqrt{7}}\right)-\arccos\left(\frac{4}{3\sqrt{6}}\right)\cong 72,025^\circ[/tex]

Obrigado por visitar nossa plataforma. Esperamos que tenha encontrado as respostas que procurava. Volte sempre que precisar de mais informações. Obrigado por passar por aqui. Nos esforçamos para fornecer as melhores respostas para todas as suas perguntas. Até a próxima. Obrigado por confiar no Sistersinspirit.ca. Volte novamente para obter mais informações e respostas.