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Dados os pontos A= (2, 1, 3) B= (1, 0, -1) e C= (-1, 2, 1), encontre a medida de cada um dos três ângulos internos do triângulo ABC

Sagot :

Zecol

Considerando os vetores [tex]\vec{AB}=(-1,-1,-4)[/tex], [tex]\vec{AC}=(-3,1,-2)[/tex] e [tex]\vec{BC}=(-2,2,2)[/tex] e seus respectivos comprimentos [tex]AB=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\text{ u.c}[/tex], [tex]AC=\sqrt{14}=\sqrt{7}\cdot\sqrt{2}\text{ u.c}[/tex] e [tex]BC=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\text{ u.c}[/tex], podemos calcular os ângulos internos do triângulo calculando o ângulos entre estes 3 vetores.

Sabe-se que o ângulo [tex]\theta[/tex] entre dois vetores [tex]\vec{u}[/tex] e [tex]\vec{v}[/tex] obedece à relação:

[tex]\vec{u}\cdot\vec{v}=u\cdot v\cdot\cos\theta[/tex]

Como estamos querendo ângulos de um triângulo, temos que [tex]0<\theta<180^\circ[/tex] então, para não nos preocuparmos com o sentido em que o vetor está, vamos utilizar a fórmula [tex]|\vec{u}\cdot\vec{v}|=u\cdot v\cdot\cos\theta[/tex], obtendo assim sempre o ângulo neste intervalo.

Começando com o ângulo [tex]\theta_1[/tex] entre [tex]\vec{AB}[/tex] e [tex]\vec{AC}[/tex]:

[tex]|\vec{AB}\cdot\vec{AC}|=AB\cdot AC\cdot\cos\theta_1[/tex]

[tex]|(-1,-1,-4)\cdot(-3,1,-2)|=3\sqrt{2}\cdot \sqrt{7}\cdot\sqrt{2}\cdot\cos\theta_1[/tex]

[tex]|3-1+8|=6\sqrt{7}\cos\theta_1[/tex]

[tex]10=6\sqrt{7}\cos\theta_1[/tex]

[tex]\cos\theta_1=\frac{5}{3\sqrt{7}}[/tex]

[tex]\theta_1=\arccos\left(\frac{5}{3\sqrt{7}}\right)\cong 50,954^\circ[/tex]

Indo agora para o ângulo [tex]\theta_2[/tex] entre [tex]\vec{AB}[/tex] e [tex]\vec{BC}[/tex]:

[tex]|\vec{AB}\cdot\vec{BC}|=AB\cdot BC\cdot\cos\theta_2[/tex]

[tex]|(-1,-1,-4)\cdot(-2,2,2)|=3\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot\cos\theta_2[/tex]

[tex]|2-2-8|=6\sqrt{6}\cdot\cos\theta_2[/tex]

[tex]8=6\sqrt{6}\cos\theta_2[/tex]

[tex]\cos\theta_2=\frac{4}{3\sqrt{6}}[/tex]

[tex]\theta_2=\arccos\left(\frac{4}{3\sqrt{6}}\right)\cong 57,021^\circ[/tex]

Como a soma dos ângulos internos do triângulo é igual a 180º, podemos obter o 3º ângulo [tex]\theta_3[/tex] da seguinte forma:

[tex]\theta_1+\theta_2+\theta_3=180^\circ[/tex]

[tex]\theta_3=180^\circ-\theta_1-\theta_2[/tex]

[tex]\theta_3=180^\circ-\arccos\left(\frac{5}{3\sqrt{7}}\right)-\arccos\left(\frac{4}{3\sqrt{6}}\right)\cong 72,025^\circ[/tex]

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