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⠀⠀☞ Não existe um polígono convexo com 4 diagonais. ✅
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⠀⠀A fórmula que relaciona o número de lados (n) e diagonais (d) de um polígono convexo é:
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[tex]\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf D = \dfrac{n \cdot (n - 3)}{2}}&\\&&\\\end{array}}}}}[/tex]
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⠀⠀ Aplicando o número de diagonais na fórmula temos:
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf 4 = \dfrac{n \cdot (n - 3)}{2}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf 2 \cdot 4 = n^2 - 3n$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf8 = n^2 - 3n$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf n^2 - 3n - 8 = 0$}}[/tex]
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⠀⠀Pela Fórmula de Bháskara teremos as seguintes soluções para n:
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[tex]\Large\gray{\blue{\text{$\sf \pink{\overbrace{1}^{a}}n^2 + \green{\overbrace{(-3)}^{b}}n + \gray{\overbrace{(-8)}^{c}} = 0$}}}[/tex]
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[tex]\Large\blue{\text{$\sf \Delta = \green{(-3)}^2 - 4 \cdot \pink{1} \cdot \gray{(-8)} = 41$}}[/tex]
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[tex]\begin{cases}\large\blue{\text{$\sf n_{1} = \dfrac{-(-3) + \sqrt{41}}{2 \cdot 1} \approx \dfrac{3 + 6,4}{2} \approx 4,7$}}\\\\\\\large\blue{\text{$\sf n_{2} = \dfrac{-(-3) - \sqrt{41}}{2 \cdot 1} \approx \dfrac{3 - 6,4}{2} = -1,7$}}\end{cases}[/tex]
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⠀⠀Como estamos interessados somente na raiz positiva (não existe um número de lados negativo) então nosso número de lados será igual a aproximadamente 4,7.
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- "- Mas espere um instante: o que raios significa um polígono de 4,7 lados?"
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⠀⠀Eu estava esperando você perguntar isso (rs). A resposta é: nada! Não existe um polígono de 4,7 lados.
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- "- A fórmula estaria errada então?"
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⠀⠀Também não. O que acontece é que não existe um polígono regular para cada número natural de diagonais. Verifiquemos então os primeiros polígonos convexos com diagonais:
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⠀⠀☃️ Quadrado: n = 4 e d = 2;
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⠀⠀☃️ Pentágono: n = 5 e d = 5;
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⠀⠀☃️ Hexágono: n = 6 e d = 9;
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⠀⠀E assim sucessivamente. Nossa resposta final será então: NÃO EXISTE UM POLÍGONO CONVEXO COM 4 DIAGONAIS! ☹ ✅
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[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}[/tex]
⠀⠀☀️ Leia mais sobre diagonais de um polígonos:
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✈ https://brainly.com.br/tarefa/35975467
✈ https://brainly.com.br/tarefa/36882804
[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}[/tex]✍
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[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}[/tex]☁
⠀⠀⠀⠀☕ [tex]\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}[/tex]
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([tex]\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}[/tex]) ☄
[tex]\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX[/tex]✍
❄☃ [tex]\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})[/tex] ☘☀
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[tex]\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}[/tex]
