(A)
Elevando ambos os lados da 2º equação ao quadrado, obtemos que [tex]y^2=4\tan^2\theta[/tex]. Por trigonometria, [tex]1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\therefore \tan^2\theta=\sec^2\theta-1[/tex], logo [tex]y^2=4(\sec^2\theta-1)[/tex]. Da 1º equação obtemos que [tex]\sec^2\theta=\frac{x^2}{16}[/tex], logo:
[tex]y^2=4(\frac{x^2}{16}-1)[/tex]
[tex]y^2=4\cdot\frac{x^2-16}{16}[/tex]
[tex]y^2=\frac{x^2-16}{4}[/tex]
[tex]4y^2=x^2-16[/tex]
[tex]x^2-4y^2=16[/tex]
(B)
Vamos desenvolver a 2º equação:
[tex]y=4+\sqrt{3}\tan\theta[/tex]
[tex]\sqrt{3}\tan\theta=y-4[/tex]
[tex]3\tan^2\theta=(y-4)^2[/tex]
[tex]\tan^2\theta=\frac{(y-4)^2}{3}[/tex]
[tex]\sec^2\theta-1=\frac{(y-4)^2}{3}[/tex]
Da 1º equação tiramos que [tex]\sec^2\theta=\frac{x^4}{4}[/tex], logo:
[tex]\frac{x^2}{4}-1=\frac{(y-4)^2}{3}[/tex]
Multiplicando ambos os lados da igualdade por 12:
[tex]3x^2-12=4(y-4)^2[/tex]
[tex]3x^2-4(y-4)^2=12[/tex]
