Resposta:
7
Explicação passo-a-passo:
Sendo o valor ganho pelas vendas dado pela função [tex]g(x)=31x[/tex], o lucro da empresa é:
[tex]L(x)=g(x)-C(x)[/tex]
[tex]L(x)=31x-\frac{x^3}{3}+2x^2-10x-20[/tex]
[tex]L(x)=-\frac{x^3}{3}+2x^2+21x-20[/tex]
Derivando a função lucro, obtemos [tex]L'(x)=-x^2+4x+21[/tex]. Como o enunciado disse, para acharmos os candidatos a ponto crítico, basta acharmos as raízes da derivada da função:
[tex]L'(x)=0[/tex]
[tex]-x^2+4x+21=0[/tex]
Aplicando a fórmula de Bhaskara na equação acima, achamos que as raízes são -3 e 7. Para determinar se são pontos de máximo ou mínimo, devemos calcular o valor de [tex]L''(x)[/tex] para estes valores.
Derivando [tex]L'(x)[/tex], achamos que [tex]L''(x)=-2x+4[/tex]. Sendo [tex]x=c[/tex] um candidato a ponto crítico, se [tex]L''(c)>0[/tex] então este é um ponto mínimo e se [tex]L''(c)<0[/tex] ele é um ponto máximo.
Sendo [tex]L''(3)=-2\cdot-3+4=10>0[/tex], o ponto [tex](-3,L(3))[/tex] é o ponto de mínimo local. Como [tex]L''(7)=-2\cdot7+4=-10<0[/tex], o ponto [tex](7,L(7))[/tex] é o ponto de máximo local, sendo ele o valor onde o lucro é máximo.
