idontsecret
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Sabe –se que o custo de uma produção pode ser definido por
uma função C(t) e que os pontos críticos dos custos (máximos ou
mínimos) são encontrados com a segunda derivada da função, ou seja,
C’’(t). Além disso, a primeira derivada fornece os candidatos a pontos
críticos, bastando apenas encontrar as raízes de C’(t). Esse processo
serve para qualquer função contínua.
Uma empresa produz um determinado produto com um custo mensal
dado pela função C(t) = x^3/3 - 2 x^2 + 10 x = 20
Cada unidade deste produto é vendida por R$31,00. Determinar a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal.










(

Sagot :

Zecol

Resposta:

7

Explicação passo-a-passo:

Sendo o valor ganho pelas vendas dado pela função [tex]g(x)=31x[/tex], o lucro da empresa é:

[tex]L(x)=g(x)-C(x)[/tex]

[tex]L(x)=31x-\frac{x^3}{3}+2x^2-10x-20[/tex]

[tex]L(x)=-\frac{x^3}{3}+2x^2+21x-20[/tex]

Derivando a função lucro, obtemos [tex]L'(x)=-x^2+4x+21[/tex]. Como o enunciado disse, para acharmos os candidatos a ponto crítico, basta acharmos as raízes da derivada da função:

[tex]L'(x)=0[/tex]

[tex]-x^2+4x+21=0[/tex]

Aplicando a fórmula de Bhaskara na equação acima, achamos que as raízes são -3 e 7. Para determinar se são pontos de máximo ou mínimo, devemos calcular o valor de [tex]L''(x)[/tex] para estes valores.

Derivando [tex]L'(x)[/tex], achamos que [tex]L''(x)=-2x+4[/tex]. Sendo [tex]x=c[/tex] um candidato a ponto crítico, se [tex]L''(c)>0[/tex] então este é um ponto mínimo e se [tex]L''(c)<0[/tex] ele é um ponto máximo.

Sendo [tex]L''(3)=-2\cdot-3+4=10>0[/tex], o ponto [tex](-3,L(3))[/tex] é o ponto de mínimo local. Como [tex]L''(7)=-2\cdot7+4=-10<0[/tex], o ponto [tex](7,L(7))[/tex] é o ponto de máximo local, sendo ele o valor onde o lucro é máximo.

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