a) F(x) = 2f(x) - 3g(x)
Queremos obter a derivada de F no ponto 1. Aqui utilizaremos o fato do operador diferencial ser linear, ou seja,
[tex]\dfrac{dF}{dx} = \dfrac{d(2f-3g)}{dx} =2\dfrac{df}{dx}-3\dfrac{dg}{dx}[/tex]
[tex]F'(1)=2f'(1)-3g'(1)[/tex]
[tex]F'(1)=2\cdot 2-3\cdot -1=7[/tex]
b)F(x)=(f(x))^2
Aqui aplicaremos a regra da cadeia
[tex]\dfrac{dF}{dx}=\dfrac{d(f(x)^2)}{dx}=\dfrac{d(f(x)^2)}{df}\dfrac{df}{dx}[/tex]
[tex]F'(1)=2f(1)\,f'(1)[/tex]
[tex]F'(1)=2\cdot -1\cdot 2 = -4[/tex]
c) F(x) = f(x) g(x)
Aqui utilizaremos a regra do produto, dado pror
[tex]\dfrac{dF}{dx}=\dfrac{d(f\, g)}{dx} = \dfrac{df}{dx}\, g(x)+f(x)\, \dfrac{dg}{dx}[/tex]
[tex]F'(1)=f'(1)\, g(1)+ f(1)\, g'(1)[/tex]
[tex]F'(1)=2\cdot 3+(-1)\cdot -1= 7[/tex]
d) F(x) = f(x)/g(x)
Por fim, obteremos a regra do quociente, que é uma aplicação da regra do produto com a da cadeia,
[tex]\dfrac{dF}{dx} = \dfrac{df}{dx} \, \dfrac{1}{g}+f\, \dfrac{d\left(\frac{1}{g}\right)}{dg}\, \dfrac{dg}{dx}[/tex]
[tex]\dfrac{dF}{dx} = \dfrac{f'}{g}-\dfrac{f\, g'}{g^2} = \dfrac{f'\, g-f\, g'}{g^2}[/tex]
[tex]F'(1)=\dfrac{f'(1)\, g(1)-f(1)\, g'(1)}{g(1)^2}[/tex]
[tex]F'(1)=\dfrac{2\cdot 3 - (-1)\cdot -1}{3^2}=\dfrac{5}{9}[/tex]
