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[tex]\sf (5,,,,,,,,45)\\\sf a_1=5~~~a_9=45\\\sf a_9=a_1+8r\\\sf 45=5+8r\\\sf 8r=45-5\\\sf 8r=40\\\sf r=\dfrac{40}{8}\\\sf r=5\\\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf(5,10,15,20,25,30,35,40,45)}}}}[/tex]
✅ Após finalizar os cálculos, concluímos que a progressão aritmética procurada é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ P.A.(5, {\bf 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40,\:} 45) \:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sabemos que para calcular qualquer termo de um progressão aritmética devemos utilizar a fórmula do termo geral que nos diz:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A_{n} = A_{1} + (n - 1)\cdot r\end{gathered}$}[/tex]
Se queremos inserir uma quantidade de meios aritméticos entre dois valores extremos, devemos, primeiramente, calcular o valor da razão da progressão aritmética. Neste caso, devemos isolar a razão "r" no primeiro membro da equação "I", isto é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} r = \frac{A_{n} - A_{1}}{n - 1}\end{gathered}$}[/tex]
Além disso, devemos saber que o total de termos "n" da progressão é igual ao número de meios "m" acrescido de "2", isto é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n = m + 2\end{gathered}$}[/tex]
Desta forma, temos os seguintes dados:
[tex]\Large\begin{cases} m = 7\\n = m + 2 = 7 + 2 = 9\\A_{1} = 5\\A_{9} = 45\end{cases}[/tex]
Substituindo os dados na equação "II", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} r = \frac{45 - 5}{9 - 1} = \frac{40}{8} = 5\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, o valor da razão é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} r = 5\end{gathered}$}[/tex]
Agora, devemos montar cada um dos termos da progressão aritmética:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A_{1} = 5\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A_{2} = A_{1} + r = 5 + 5 = 10\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A_{3} = A_{2} + r = 10 + 5 = 15\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A_{4} = A_{3} + r = 15 + 5 = 20\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A_{5} = A_{4} + r = 20 + 5 = 25\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A_{6} = A_{5} + r = 25 + 5 = 30\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A_{7} = A_{6} + r = 30 + 5 = 35\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A_{8} = A_{7} + r = 35 + 5 = 40\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A_{9} = A_{8} + r = 40 + 5 = 45\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, a progressão aritmética procurada é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P.A.(5, {\bf 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40,\:} 45)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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