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Se A é uma matriz 3 X 4 e B uma matriz nxm, então
o existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3.
existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B.
o existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3.
o existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3​

Sagot :

Resposta:

As afirmativas corretas são "Existe [tex]AB[/tex] se, e somente se, [tex]n=4[/tex] e [tex]m = 3[/tex]" e "Existe [tex]AB[/tex] se, e somente se, [tex]n = 4[/tex] e [tex]m = 3[/tex]".

Explicação passo-a-passo:

Vamos analisar CADA UMA das alternativas e ver porque elas estão erradas ou corretas.

Primeiro, o enunciado nos disse que existem duas matrizes [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], tais que a matriz [tex]A[/tex] é [tex]3 \times 4[/tex] e a matriz [tex]B[/tex] é [tex]n \times m[/tex]. Isso quer dizer que a matriz [tex]A[/tex] tem 3 linhas e 4 colunas, enquanto a matriz [tex]B[/tex] tem [tex]m[/tex] colunas e [tex]n[/tex] linhas. Note que aqui [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] são variáveis.

A primeira afirmação nos diz que existe uma matriz [tex]A+B[/tex] se, e somente se, [tex]n = 4[/tex] e [tex]m = 3[/tex]. Isso significaria que a matriz [tex]B[/tex] teria 4 linhas e 3 colunas. Mas se nos lembrarmos um pouco de como é definida a soma de matrizes, vamos ver que duas matrizes só podem ser somadas se o número de linhas delas é o mesmo e o número de colunas das duas matrizes também é o mesmo. Note que se [tex]A[/tex] é [tex]3 \times 4[/tex] e [tex]B[/tex] é [tex]4 \times 3[/tex], o número de linhas da matriz [tex]A[/tex] é diferente do número de linhas da matriz [tex]B[/tex], então elas não podem ser somadas.

A segunda afirmação diz que a soma das duas matrizes [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] só vai ser igual se as duas matrizes forem iguais. Lembre-se que a soma de matrizes é simplesmente somar os números das entradas correspondentes, isto é, a entrada [tex]c_{ij}[/tex] da matriz resultante é a soma das entradas [tex]a_{ij}[/tex] e [tex]b_{ij}[/tex] das matrizes originais. Em forma de equação: [tex]c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}[/tex]. Essa soma entre as entradas é a soma normal, que é comutativa. Dessa forma, toda soma de matrizes é comutativa, não importa quais matrizes sejam, basta que seja possível somá-las. O problema com a afirmação do enunciado é que ele diz que a relação [tex]A+B=B+A[/tex] vale se, e somente se, [tex]A = B[/tex]. Esse se, e somente se, quer dizer que se as matrizes forem iguais, então a relação vale, e a relação só vai valer se as matrizes forem iguais. Mas isso não é verdade, comutatividade vale mesmo se as matrizes não forem iguais.

Para as últimas duas frases, vamos lembrar que a multiplicação entre matrizes só está definida se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.

A terceira afirmação diz que as matrizes [tex]AB[/tex] e [tex]BA[/tex] vão existir se, e somente se [tex]n=4[/tex] e [tex]m = 3[/tex]. Nesse caso, a matriz [tex]B[/tex] teria 4 linhas e 3 colunas. De fato, a matriz [tex]AB[/tex] existiria, pois nessa multiplicação, a primeira matriz é [tex]A[/tex], que tem 4 colunas, enquanto a segunda matriz é [tex]B[/tex] que tem 4 linhas, ou seja, dá pra multiplicar pois os números são iguais. O mesmo server para [tex]BA[/tex], em que a primeira matriz é [tex]B[/tex], que tem 3 colunas, e a segunda matriz é [tex]A[/tex], que tem 3 linhas.

Por fim, a última afirmação diz que existe [tex]AB[/tex] se, e somente se, [tex]n = 4[/tex] e [tex]m = 3[/tex]. O que é basicamente o que nós discutimos na alternativa anterior, a diferença é que agora ele está falando só de [tex]AB[/tex], sem incluir [tex]BA[/tex]. Então essa também está correta.

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