Temos uma inequação logarítmica e queremos determinar a solução para x.
[tex]\begin{array}{l}\\\sf log_{\:0,5}~(x-1) > 2\\\\\end{array}[/tex]
Antes de tudo, devemos saber da condição de existência, em que o logaritmando deve ser positivo, pois ele não pode ser negativo e nem nulo. Assim:
x – 1 > 0
x > 1
→ condição: x deve ser maior que 1.
[tex]~~[/tex]
Agora vamos prosseguir.
Veja a situação:
[tex]\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\sf log_{\:a}~(b) > c\\\\\sf\Rightarrow~b > a^c\:,~se~a > 1\\\\\sf\Rightarrow~b < a^c\:,~se~0 < a < 1\end{array}}}[/tex]
→ Ou seja, se a base for maior que 1, a desigualdade se mantém. Mas se a base for menor que 1 e positiva, a desigualdade inverte.
[tex]\begin{array}{l}\\\sf log_{\:0,5}~(x-1) > 2\end{array}[/tex]
Visto que a base 0,5 é menor que 1 e positiva, então:
[tex]\begin{array}{l}\sf(x-1) < (0,5)^2\\\\\sf x-1 < 0,25\\\\\sf x < 0,25+1\\\\\!\boxed{\sf x < 1,25}\\\\\end{array}[/tex]
Dado a condição de existência, em que x > 1, e o resultado encontrado x < 1,25, então x é maior que 1, e menor que 1,25.
Conjunto solução...
[tex]\boxed{\begin{array}{l}\\\sf S=\Big\{\:\:x\in\mathbb{R}~~/~~1 < x < 1,25\:\:\Big\}\\\\\end{array}}[/tex]
[tex]~~[/tex]
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