O método de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes consiste em supor solução
[tex]y(x) = e^{rx}[/tex]
E determinar todos os valores de r que são solução.
a) y'' + 4y' - 12y = 0
Supondo [tex]y(x) = e^{rx}[/tex],
[tex]r^2e^{rx}+4re^{rx}-12e^{rx} = 0[/tex]
[tex](r^2+4r-12)e^{rx} = 0[/tex]
Como nossa solução não é zero para nenhum x, então devemos ter que
[tex]r^2+4r-12 = 0[/tex]
Resolvendo por Bhaskara, obtemos que r deve ser
[tex] r = \dfrac{-4\pm\sqrt{16+48}}{2} = \dfrac{-4\pm\sqrt{64}}{2} = -2\pm4[/tex]
Portanto, as soluções serão da família
[tex]y(x) = Ae^{2x}+Be^{-6x}[/tex]
b) y'' - 10y' + 25y = 0
Novamente, supomos solução [tex]y(x) = e^{rx}[/tex] e caímos num polinômio
[tex]r^2-10r+25 = 0[/tex]
Resolvendo-o,
[tex] r = \dfrac{10\pm\sqrt{100-100}}{2} = 5[/tex]
Temos uma solução com multiplicidade, assim, deve haver outra solução
[tex]y_2(x) = u(x)\cdot e^{5x}[/tex]
Substituindo, obtemos que
[tex]u''e^{5x}+10u'e^{5x}+25ue^{5x} - 10(u'e^{5x}+5ue^{5x})+25ue^{5x} = 0[/tex]
[tex]u''+10u'+25u-10u''-50u+25u = 0[/tex]
[tex]u'' = 0[/tex]
[tex]u(x) = ax+b[/tex]
Portanto, são soluções as famílias
[tex]y(x) = b_1e^{5x} + (Ax+b_2)e^{5x} = Axe^{5x} + (b_1+b_2)e^{5x}[/tex]
[tex]y(x) = Axe^{5x} + Be^{5x}[/tex]
