Sagot :
Equações de primeiro grau são sempre equações que podem ser separados em 2 conjuntos: Os termos numérico, que independem de x, e os literais, que são termos de números que multiplicam a incógnita x. Normalmente estes termos estão misturados na equação,
[tex]5(x+2) - 12 = 3(x+2) - 2x[/tex]
para resolvermos a equação para x temos de separar tais termos, de forma a obtermos algo como
[tex]\underbrace{5x+2x-3x}_{\mathrm{termos\hspace{0.1cm} literais}} = \underbrace{6+12-10}_{\mathrm{termos\hspace{0.1cm} nume\´ricos}[/tex]
Somente assim podemos somar os termos, já que os termos numéricos não podem somar com os literais, assim, nossa equação seria
[tex]4x = 8[/tex]
Podemos passar o 4 dividindo para obter somente o valor de x, assim, nosso exemplo teria solução x = 2.
Vamos aplicar a teoria com os exercícios:
a) 2(2x+7) + 3(3x-5) = 3(4x+5) - 1
Primeiramente devemos multiplicar todos os termos nos parênteses, obtendo somente os termos que se somam,
[tex]4x+14+9x-15 = 12x+15-1[/tex]
Agora vamos mover todos os termos literais para esquerda e os numéricos para a direita, cada termo que passa de um lado para outro tem seu sinal trocado, assim,
[tex]4x+9x-12x = 15-1-14+15[/tex]
[tex]x =15[/tex]
b) x/2 + 3x/5 = 6
Neste caso, temos frações, para nos livramos dela, vamos colocá-las sob um mesmo denominador, o mínimo múltiplo comum entre eles é 10, portanto,
[tex]\dfrac{5x}{10} + \dfrac{6x}{10} = 6[/tex]
[tex]\dfrac{11x}{10} = 6[/tex]
Podemos passar o 11/10 dividindo, obtendo
[tex]x = \dfrac{6\cdot 10}{11} = \dfrac{60}{11}[/tex]
c) 3(x+2)/5 = 2+ (3x+1)/4
Vamos primeiro colocar todos os termos sob um mesmo denominador, que será 20, o mmc entre 5 e 4, assim
[tex]\dfrac{4\cdot 3(x+2)}{20} = \dfrac{40}{20}+\dfrac{5(3x+1)}{20}[/tex]
[tex]\dfrac{4\cdot 3(x+2)}{20} =\dfrac{40+5(3x+1)}{20}[/tex]
Quando todos os termos em ambos os lados da igualdade estão sob um mesmo denominado podemos simplesmente ignorá-lo, já que múltiplicar ambos os lados por 20 remove a razão.
[tex]12(x+2) = 40+5(3x+1)[/tex]
[tex] 12x+24 = 40 + 15x+5[/tex]
[tex] 12x-15x = 40 + 5-24[/tex]
[tex]-3x = 21[/tex]
[tex] x = \dfrac{-21}{3} = -7[/tex]
d) 2x/9 + 1/6 = 4x/3 + 1/2
Temos de nos livrar do denominador novamente, para isso fazermos o mmc entre 9, 6, 3 e 2, que é igual à 18.
[tex]\dfrac{2\cdot 2x}{18} + \dfrac{3}{18} = \dfrac{6\cdot 4x}{18} + \dfrac{9}{18}[/tex]
[tex]\dfrac{4x + 3}{18}= \dfrac{24x+9}{18} [/tex]
[tex] 4x+3 = 24x+9[/tex]
[tex]4x-24x = 9-3[/tex]
[tex] -20x = 6[/tex]
[tex]x = \dfrac{-6}{20} = \dfrac{-3}{10} = -0.3[/tex]
Resposta:
a) x = 15
b) x = -7
c) x = 60/11
d) x = -6/20 ou x = -3/10 ou x = -0,3
Explicação passo-a-passo:
Coisas pra saber resolver:
- Isola o x em um lado
- Quando passa pra outro lado a operação muda pro oposto (+ vira - e vice-versa, × vira ÷ e vice-versa etc)
- Quando tem um número fora multiplicando e mais dd um dentro, multiplica o de fora por tudo dentro. Ex.: 2(x + 3) = 2 × x + 2 × 3 = 2x + 6
- Quando tem frações, faz todo um processo que eu vou explicar enquanto resolve, que fica mais fácil de entender
- Simplificar a fração é dividir ela pelo mesmo valor em cima e em baixo, sem dar resto. Pode ir fazendo isso várias vezes até não dar mais, se precisar
Resolvendo:
- a) 2 (2x + 7) + 3 (3x - 5) = 3 (4x + 5) - 1
Colquei os parênteses pra ficar melhor de visualizar, eles não estão fazendo nada importante
O parênteses perto do -5 só existe pra separar ele e o símbolo de multiplicação. E usou o colchetes [ porque têm os parênteses, mas o colchete faz a mesma coisa que parênteses
Se você qusier escrever sem os parênteses/colchetes, também pode sem problema nenhum
(2 × 2x + 2 × 7) + [3 × 3x + 3 × (- 5)] = (3 × 4x + 3 × 5) - 1
4x + 14 + 9x - 15 = 12x + 15 - 1
13x - 1 = 12x + 14
13x - 12x = 14 + 1
x = 15
- b)
[tex] \frac{3(x + 2)}{5} = 2 + \frac{3x + 1}{4} \\ \frac{3x + 6}{5} = 2 + \frac{3x + 1}{4} [/tex]
Agora, tem o processo de igualar os de baixo e mexer nos de cima pra fazer as operações
Faz o MMC dos denominadores (números de baixo). Quando não tem denominador, pode ignorar ou colocar 1 no MMC, não faz diferença
1, 4, 5 | 2
1, 2, 5 | 2
1, 1, 5 | 5
1, 1, 1 | 2 × 2 × 5 = 4 × 5 = 20
O resultado do MMC foi 20
Agora pega esse valor, e vê nas frações originais. Divide ele pelo de baixo e multiplica pelo de cima. O resultado fica em cima
3x+6 / 5
20 ÷ 5 = 4
4 × (3x + 6) = 12x + 24
Fica 12x+24 / 20
2
2/1
20 ÷ 1 = 1
20 × 2 = 40
Fica 40/20
3x + 1 / 4
20 ÷ 4 = 5
5 × (3x + 1) = 15x + 5
Fica 15x+5 / 20
Agora que em baixo ficou tudo igual, faz adição e subtração com os de cima
Pra facilitar, como tudo ficou igual em baixo, pode só cortar tudo na equação
[tex] \frac{12x + 24}{20} = \frac{40}{20} + \frac{15x + 5}{20} \\ 12x + 24 = 40 + 15x + 5 \\ 12x = 45 + 15x \\ 24 - 45 = 15x - 12x \\ - 21 = 3x \\ \frac{ - 21}{3} = x \\ - 7 = x[/tex]
- c) x/2 + 3x/5 = 6
Mesma coisa de cima
1, 2, 5 | 2
1, 1, 5 | 5
1, 1, 1 | 2 × 5 = 10
Em baixo, vai ficar tudo 10
Com x/2
10 ÷ 2 = 5
5 × x = 5x
Fica 5x em cima
5x/10
Com 3x/5
10 ÷ 5 = 2
2 × 3x = 6x
Fica 6x em cima
6x/10
6 vira 6/1
Com 6/1
10 ÷ 1 = 10
10 × 6 = 60
Fica 60 em cima
60/10
5x/10 + 6x/10 = 60/10
Corta os de baixo
5x + 6x = 60
Resolve
11x = 60
x = 60/11
Se dividir dá dízima, então (geralmente) deixa em fração
- d) 2x/9 + 1/6 = 4x/3 + 1/2
2, 3, 6, 9 | 2
1, 3, 3, 9 | 3
1, 1, 1, 3 | 3
1, 1, 1, 1 | 2 × 3 × 3 = 18
Em baixo, vai ficar 18
Com 2x/9
18 ÷ 9 = 2
2 × 2x = 4x
Em cima, fica 4x
4x/18
Com 1/6
18 ÷ 6 = 3
3 × 1 = 3
Em cima, fica 3
3/18
Com 4x/3
18 ÷ 3 = 6
6 × 4x = 24x
Em cima, fica 24x
24x/18
Com 1/2
18 ÷ 2 = 9
9 × 1 = 9
Em cima, fica 9
9/18
[tex] \frac{4x}{18} + \frac{3}{18} = \frac{24x}{18} + \frac{9}{18} [/tex]
Corta os de baixo
[tex]4x + 3 = 24x + 9 \\ + 3 - 9 = 24x - 4x \\ - 6 = 20x \\ \frac{ - 6}{20} = x \\ - 0.3 = x[/tex]
Pode simplificar (dividir os de cima e de baixo pelo mesmo valor, sem dar resto). Usei 2
[tex] \frac{ - 6 \div 2}{20 \div 2} = \frac{ - 3}{10} [/tex]
Ou em decimal (divide cima por baixo)
[tex] - 3 \div 10 = - 0.3[/tex]
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