Definimos uma transformação uma aplicação que leva elementos de um espaço vetorial à outro, uma transformação é dita linear se ela satisfaz 2 propriedades:
Dados u e v vetores e λ, um escalar,
[tex]i)\, T(\lambda v) = \lambda\, T(v)[/tex]
[tex]ii)\, T(u+v) = T(u)+T(v)[/tex]
Se T é tal que satisfaz tais propriedades, T é transformação linear. O exercício pede para que analisemos se a transformação definida a seguir é linear:
[tex]T(x,\,y) = (y,\, x,\, y,\, x)[/tex]
Ou, em notação vetorial
[tex]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] \xrightarrow{T} \left[\begin{array}{c}y\\x\\y\\x\\\end{array}\right][/tex]
Sejam u, v vetores de R² e um escalar λ, vamos provar que T satisfaz as propriedades citadas,
[tex]v =(x_1, \, y_1) \, , \hspace{0.5cm} u = (x_2, \, y_2)[/tex]
[tex]i)\, T(\lambda v) = T(\lambda x_1,\, \lambda y_1) = (\lambda y_1,\, \lambda x_1,\,\lambda y_1,\, \lambda x_1)\\ \\= \lambda (y_1,\, x_1,\,y_1,\, x_1) = \lambda T(v)[/tex]
[tex]ii) \, T(v+u) = T(x_1+x_2,\, y_1+y_2) = (y_1+y_2,\,x_1+x_2,\, y_1+y_2,\, x_1+x_2)\\\\ = (y_1,\, x_1,\,y_1,\, x_1) + (y_2,\, x_2,\,y_2,\, x_2) = T(v)+T(u)[/tex]
T satisfaz as propriedades i) e ii), portanto, T é transformação linear.
