Dada a equação diferencial
[tex]\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1+x}{x^2y^2}[/tex]
Vemos que ela é separável, já que x e y podem ser separadas do seguinte modo
[tex]y^2 \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1+x}{x^2}[/tex]
Aqui podemos integrar ambos os lados (os seguintes passos são conhecidos como "passar o dx multiplicando", mas dy/dx não é uma fração e tal conceito é errado, mas o efeito no final é o mesmo)
[tex]\displaystyle \int y^2 \dfrac{dy}{dx}\, dx = \int \dfrac{1+x}{x^2}\, dx[/tex]
Por substituição de variáveis o diferencial, [tex]dy = \frac{dy}{dx} \, dx[/tex]
[tex]\displaystyle \int y^2\, dy = \int \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\, dx[/tex]
Resolvendo cada integral obteremos
[tex]\dfrac{y^3}{3} = \log|x| - \dfrac{1}{x} + C[/tex]
[tex]y(x) = \sqrt[3]{3\left(\log|x|-\dfrac{1}{x}\right) +C}[/tex]
