Olá, siga a explicação:
1° Questão:
[tex]\boxed {\boxed { \boxed { \left \{ {{2xy-9x^2 +(2y+x^2+1 ) \dfrac{dy}{dx} =0 } \atop {y(0)=3}} \right. } }}[/tex]
Sendo:
[tex]M(x,y) + N(x+y) y'=0[/tex]
Existente a:
[tex]\boxed {\Psi (x,y) \: \: tal \:\: que \:\: \Psi _x (x,y) = M(x,y) , \:\:\: \Psi y (x,y) = N(x,y)}[/tex]
[tex]\Psi (x,y) \:\: possui \:\: derivadas \:\: parciais \:\: continuas : \\ \\ \dfrac{\partial M (x,y) }{\partial y} = \dfrac{\partial ^2 \Psi (x,y)}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial ^2 \Psi (x,y)}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial N (x,y)}{\partial x}[/tex]
Substituindo:
[tex]\dfrac{dy}{dx} = y'[/tex]
Se as condições são cumpridas, então:
[tex]\Psi _x+\Psi _y\cdot \:y'=\dfrac{d\Psi \left(x,\:y\right)}{dx}=0[/tex]
Solução geral:
[tex]\Psi \left(x,\:y\right)=C[/tex]
Temos de:
[tex]\dfrac{\partial M (x,y) }{\partial y} = \dfrac{\partial N(x,y) }{\partial y } : \: \: Verdadeiro[/tex]
Aplicando condições inicias relações de cálculos, isolando termos, resposta final:
[tex]y=\dfrac{-1-x^2+\sqrt{x^4+12x^3+2x^2+49}}{2}[/tex]
