Resposta:
48/5 u.c
Explicação passo-a-passo:
Analisando o triângulo ECB, o ângulo [tex]E\hat{C}B[/tex] é o complemento de [tex]4\alpha[/tex], logo [tex]E\hat{C}B=90^\circ-4\alpha[/tex]. Da mesma forma, no caso do triângulo DCB, o ângulo [tex]D\hat{C}B[/tex] é o complemento de [tex]2\alpha[/tex], logo [tex]D\hat{C}B=90^\circ-2\alpha[/tex].
Com isso concluímos que o ângulo [tex]D\hat{C}E[/tex] do triângulo DCE é igual a:
[tex]D\hat{C}E=D\hat{C}B-E\hat{C}B[/tex]
[tex]D\hat{C}E=90^\circ-2\alpha-(90^\circ-4\alpha)[/tex]
[tex]D\hat{C}E=2\alpha[/tex]
Como os ângulos opostos aos lados são iguais, concluímos que [tex]CE=10[/tex]. Considerando [tex]BE=x[/tex] e [tex]CB=y[/tex], podemos aplicar o teorema de Pitágoras, concluindo que [tex]x^2+y^2=10^2=100[/tex].
Pegando agora o triângulo ABC, o ângulo [tex]A\hat{C}B[/tex] é o complemento de [tex]\alpha[/tex], logo [tex]A\hat{C}B=90^\circ-\alpha[/tex]. Podemos então calcular o ângulo [tex]A\hat{C}D[/tex] da seguinte forma:
[tex]A\hat{C}D=A\hat{C}B-D\hat{C}B[/tex]
[tex]A\hat{C}D=90^\circ-\alpha-(90^\circ-2\alpha)[/tex]
[tex]A\hat{C}D=\alpha[/tex]
Como os ângulos são iguais, os lados opostos a eles também o são. Aplicando novamente o teorema de Pitágoras, concluímos que:
[tex](x+10)^2+y^2=16^2=256[/tex]
Isolando [tex]y^2[/tex] em ambas as equações, achamos que:
[tex]100-x^2=256-(x+10)^2[/tex]
[tex]100-x^2=256-x^2-20x-100[/tex]
[tex]20x=56[/tex]
[tex]x=\frac{56}{20}=\frac{14}{5}\text{ u.c}[/tex]
Com isso podemos obter [tex]y[/tex]:
[tex]y^2+(\frac{14}{5})^2=100[/tex]
[tex]y^2=100-\frac{196}{25}[/tex]
[tex]y^2=\frac{2.304}{25}[/tex]
[tex]y=\frac{48}{5}\text{ u.c}[/tex]
