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Suponha que os números a1, a2, a3, a4, a5, 6 formam uma progressão geométrica e que a1 + a3 + a5 = 7 e a2 + a4 + a6 = 14. Então a1 é igual a:

a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1
e) 2

Sagot :

Zecol

Resposta:

b)

Explicação passo-a-passo:

Sendo [tex]a_1[/tex] e [tex]q[/tex] o 1º termo e a razão da PG, respectivamente, sabe-se que [tex]a_n=a_1q^{n-1}[/tex], logo:

[tex]a_1+a_3+a_5=7[/tex]

[tex]a_1+a_1q^2+a_1q^4=7[/tex]

[tex]a_1(1+q^2+q^4)=7[/tex]

[tex]a_1=\frac{7}{1+q^2+q^4}[/tex]

Da mesma forma:

[tex]a_1q+a_1q^3+a_1q^5=14[/tex]

[tex]a_1(q+q^3+q^5)=14[/tex]

[tex]a_1=\frac{14}{q+q^3+q^5}[/tex]

Daí tiramos que:

[tex]\frac{7}{1+q^2+q^4}=\frac{14}{q+q^3+q^5}[/tex]

[tex]\frac{1}{1+q^2+q^4}=\frac{2}{q+q^3+q^5}[/tex]

[tex]q^5+q^3+q=2q^4+2q^2+2[/tex]

[tex]q^5+q^3+q-2q^4-2q^2-2=0[/tex]

[tex]q(q^4+q^2+1)-2(q^4+q^2+1)=0[/tex]

[tex](q^4+q^2+1)(q-2)=0[/tex]

Como [tex]q^4+q^2+1=0[/tex] não possui soluções reais, desconsideramos este caso. Dessa forma, a única possibilidade é que [tex]q-2=0\therefore q=2[/tex], concluindo assim que:

[tex]a_1=\frac{7}{2^4+2^2+1}[/tex]

[tex]a_1=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}[/tex]

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