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Obtenha uma equação geral do plano π que contém os pontos A = (1, 1, 0) e B = (1, −1, −1)
e é paralelo a −→u = (2, 1, 0).

Sagot :

Zecol

Considerando o vetor [tex]\vec{AB}=B-A=(0,-2,-1)[/tex], os vetores [tex]\vec{AB}[/tex] e [tex]\vec{u}[/tex] são paralelos ao plano, logo o produto vetorial entre eles deve ser ortogonal ao plano. Calculando este produto:

[tex]\vec{AB}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\0&-2&-1\\2&1&0\end{vmatrix}[/tex]

[tex]\vec{AB}\times\vec{u}=\vec{i}\cdot(-2)\cdot0+\vec{j}\cdot(-1)\cdot2+\vec{k}\cdot1\cdot0-[\vec{k}\cdot(-2)\cdot2+\vec{j}\cdot0\cdot0+\vec{i}\cdot1\cdot(-1)][/tex]

[tex]\vec{AB}\times\vec{u}=\vec{j}\cdot(-1)\cdot2-[\vec{k}\cdot(-2)\cdot2+\vec{i}\cdot1\cdot(-1)][/tex]

[tex]\vec{AB}\times\vec{u}=-2\vec{j}+4\vec{k}+\vec{i}[/tex]

[tex]\vec{AB}\times\vec{u}=\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}=(1,-2,4)[/tex]

Considerando agora um ponto qualquer [tex]P(x,y,z)[/tex] do plano, o vetor [tex]\vec{AP}=P-A=(x-1,y-1,z)[/tex] é paralelo ao plano, logo ele é ortogonal a [tex]\vec{AB}\times\vec{u}[/tex], implicando que o produto escalar entre eles é nulo:

[tex]\vec{AP}\cdot(\vec{AB}\times\vec{u})=0[/tex]

[tex](x-1,y-1,z)\cdot(1,-2,4)=0[/tex]

[tex]x-1-2(y-1)+4z=0[/tex]

[tex]x-2y+4z+1=0[/tex]

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