Considerando o vetor [tex]\vec{AB}=B-A=(0,-2,-1)[/tex], os vetores [tex]\vec{AB}[/tex] e [tex]\vec{u}[/tex] são paralelos ao plano, logo o produto vetorial entre eles deve ser ortogonal ao plano. Calculando este produto:
[tex]\vec{AB}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\0&-2&-1\\2&1&0\end{vmatrix}[/tex]
[tex]\vec{AB}\times\vec{u}=\vec{i}\cdot(-2)\cdot0+\vec{j}\cdot(-1)\cdot2+\vec{k}\cdot1\cdot0-[\vec{k}\cdot(-2)\cdot2+\vec{j}\cdot0\cdot0+\vec{i}\cdot1\cdot(-1)][/tex]
[tex]\vec{AB}\times\vec{u}=\vec{j}\cdot(-1)\cdot2-[\vec{k}\cdot(-2)\cdot2+\vec{i}\cdot1\cdot(-1)][/tex]
[tex]\vec{AB}\times\vec{u}=-2\vec{j}+4\vec{k}+\vec{i}[/tex]
[tex]\vec{AB}\times\vec{u}=\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}=(1,-2,4)[/tex]
Considerando agora um ponto qualquer [tex]P(x,y,z)[/tex] do plano, o vetor [tex]\vec{AP}=P-A=(x-1,y-1,z)[/tex] é paralelo ao plano, logo ele é ortogonal a [tex]\vec{AB}\times\vec{u}[/tex], implicando que o produto escalar entre eles é nulo:
[tex]\vec{AP}\cdot(\vec{AB}\times\vec{u})=0[/tex]
[tex](x-1,y-1,z)\cdot(1,-2,4)=0[/tex]
[tex]x-1-2(y-1)+4z=0[/tex]
[tex]x-2y+4z+1=0[/tex]
