Se define fatorial de um número:
[tex]\boxed{\begin{array}{l}\\\sf n!~~/~~n\in\mathbb{N}~,~~com~~n > 1\\\\\end{array}}\\\\[/tex]
Dessa forma, seja qualquer número natural maior que 1, o fatorial desse número será o produto de todos os seus antecessores até chegar a 1:
[tex]\boxed{\begin{array}{l}\\\sf n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot \:\: \dots \:\:\cdot 1\\\\\end{array}}\\\\[/tex]
- Obs.: Para facilitar, podemos ir desenvolvendo o fatorial no numerador ou denominador para que possamos cancelar. Exemplo:
[tex]\begin{array}{l}\sf \dfrac{n!}{(n-2)!}=\dfrac{n\cdot(n-1)\cdot\cancel{(n-2)!}}{\cancel{(n-2)!}}=n\cdot(n-1)\end{array}[/tex]
[tex]~~[/tex]
Assim, vamos simplificar as expressões da atividade.
Letra A)
[tex]\begin{array}{l}\sf\dfrac{25!}{24!}=\dfrac{25\cdot\cancel{24!}}{\cancel{24!}}=\boxed{\sf25}\end{array}[/tex]
[tex]~~[/tex]
Letra B)
[tex]\begin{array}{l}\sf\dfrac{30!}{28!}=\dfrac{30\cdot29\cdot\cancel{28!}}{\cancel{28!}}=30\cdot29=\boxed{\sf870}\end{array}[/tex]
[tex]~~[/tex]
Letra C)
[tex]\begin{array}{l}\sf\dfrac{10!}{5!}=\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot\cancel{5!}}{\cancel{5!}}=10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6=\boxed{\sf30240}\end{array}[/tex]
[tex]~~[/tex]
Letra D)
[tex]\begin{array}{l}\sf\dfrac{20!}{17!}=\dfrac{20\cdot19\cdot18\cdot\cancel{17!}}{\cancel{17!}}=20\cdot19\cdot18=\boxed{\sf6840}\end{array}[/tex]
[tex]~~[/tex]
Letra E)
obs.: 1 fatorial é sempre 1
[tex]\begin{array}{l}\sf\dfrac{5!}{1!}=\dfrac{5!}{1}=5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=\boxed{\sf120}\end{array}[/tex]
[tex]~~[/tex]
Att. Nasgovaskov
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