Dada uma função contínua definida num intervalo [a, b], o conjunto imagem desta função é o conjunto que inclui todos os valores entre o mínimo e o máximo local da função. Se f é limitada superiormente e é contínua, então f possui supremo em [a, b], ou seja, existe um número M tal que
[tex]y \leq M\, , \hspace{0.2cm} \mathrm{para \hspace{0.1cm} todo \hspace{0.1cm}} y \hspace{0.1cm} \mathrm{na \hspace{0.1cm} imagem}[/tex]
Se a mesma f é limitada inferiormente no mesmo intervalo [a, b], então possui ínfimo, ou seja, existe uma cota inferior m tal que
[tex]y \geq M\, , \hspace{0.2cm} \mathrm{para \hspace{0.1cm} todo \hspace{0.1cm}} y \hspace{0.1cm} \mathrm{na \hspace{0.1cm} imagem}[/tex]
Assim, o conjunto imagem de f é
[tex]I = [m,\,M][/tex]
m é dito mínimo local de f e M, máximo local de f para f no domínio [a, b].
Dada a função [tex] f(x) = 2^x[/tex] definida no intervalo [-1, 4], verificaremos se f é limitada.
Sabemos que f(x) é contínua por ser exponencial, mas além disso é ela é monótona, ou seja, ela e estritamente crescente ou decrescente durante todo intervalo, pois, dados x₁ e x₂ ∈ [a, b],
[tex]\displaystyle x_1 < x_2 \implies 2^{x_1} > 2^{x_2}[/tex]
Deste modo, o mínimo local de f está quando x também é mínimo, enquanto o máximo de f se encontra quando x é máximo. Assim,
[tex]m = f(-1) = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]M = f(4) = 2^4 = 16[/tex]
Assim, a imagem de f é dada pelo conjunto
[tex]I = \left[\,\dfrac{1}{2}, \, 16\,\right][/tex]
Alternativa b)
