Olá, bom dia.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre lei dos senos.
Dado um triângulo de lados [tex]a,~b[/tex] e [tex]p[/tex], em que os ângulos opostos aos lados são, respectivamente, [tex]\^{A},~\^{B}[/tex] e [tex]\^{P}[/tex].
Considere o triângulo [tex]\triangle{ABP}[/tex]. A distância entre os vértices [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] determina o lado o lado [tex]p[/tex], a distância entre os vértices [tex]A[/tex] e [tex]P[/tex] determina o lado [tex]b[/tex] e, por fim, a distância entre os vértices [tex]B[/tex] e [tex]P[/tex] determina o lado [tex]a[/tex].
Assim, de acordo com a Lei dos senos:
[tex]\dfrac{a}{\sin(\^A)}=\dfrac{b}{\sin(\^B)}=\dfrac{p}{\sin(\^P)}[/tex].
Então, de acordo com os dados do enunciado, busca-se a distância entre os vértices [tex]A[/tex] e [tex]P[/tex], sabendo-se que a distância entre os lados [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] é igual a [tex]800~m[/tex] e a medida dos ângulos [tex]B\^AP[/tex] e [tex]A\^BP[/tex] são, respectivamente, [tex]60^{\circ}[/tex] e [tex]75^{\circ}[/tex].
Lembre-se que estes são os ângulos que encontram-se nos vértices [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex].
Dessa forma, devemos determinar a medida do ângulo que encontra-se no vértice [tex]P[/tex]:
[tex]B\^AP+A\^BP+A\^PB = 180º\\\\\\ 60^{\circ} + 75^{\circ} + A\^PB=180^{\circ}\\\\\\ 135^{\circ} + A\^PB=180^{\circ}[/tex]
Subtraia [tex]135^{\circ}[/tex] em ambos os lados da equação
[tex]A\^PB=180^{\circ}-135^{\circ}\\\\\\ A\^PB=45^{\circ}[/tex]
Finalmente, substituímos os dados cedidos pelo enunciado na lei dos senos:
[tex]\dfrac{\overline{AB}}{\sin(A\^PB)}=\dfrac{\overline{AP}}{\sin(A\^BP)}\\\\\\ \dfrac{800}{\sin(45^{\circ})}=\dfrac{\overline{AP}}{\sin(75^{\circ})}[/tex]
Lembre-se que [tex]\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha)[/tex]. Assim, reescrevemos [tex]\sin(75^{\circ})=\sin(30^{\circ})\cos(45^{\circ})+\sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ})[/tex]:
[tex]\dfrac{800}{\sin(45^{\circ})}=\dfrac{\overline{AP}}{\sin(30^{\circ})\cos(45^{\circ})+\sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ})}[/tex]
Sabendo que [tex]\sin(45^{\circ})=\cos(45^{\circ})=\dfrac{\sqrt{2}}{2},~\sin(30^{\circ})=\dfrac{1}{2}[/tex] e [tex]\cos(30^{\circ})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex], temos:
[tex]\dfrac{800}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{\overline{AP}}{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}[/tex]
Multiplique ambos os lados da equação por um fator [tex]\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]800=\dfrac{\overline{AP}}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ 800=\dfrac{\overline{AP}}{\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}}[/tex]
Multiplique ambos os lados da equação por um fator [tex]\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]400\cdot(1+\sqrt{3})=\overline{AP}[/tex]
Utilizando a aproximação [tex]\sqrt{3}\approx1,73[/tex], temos:
[tex]\overline{AP}\approx400\cdot(1+1,73)\\\\\\ \overline{AP}\approx400\cdot2,73[/tex]
Multiplique os valores
[tex]\overline{AP}\approx1092~m[/tex]
Esta é a medida da distância entre os vértices [tex]A[/tex] e [tex]P[/tex] que buscávamos e é a resposta contida na letra b).
