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Sagot :
Olá, Accacio Tulo.
Os possíveis números formados pela combinação de três algarismos distintos dentre os escolhidos no conjunto {a,b,c,d} são, em ordem alfabética:
[tex]\text{6 possibilidades}\begin{cases}a\ b\ c\\ a\ b\ d\\ \vdots\\ a\ d\ c\\ \end{cases}\\ \text{6 possibilidades}\begin{cases}b\ a\ c\\ b\ a\ d\\ \vdots\\ b\ d\ c\\ \end{cases}\\ \vdots\\ \text{6 possibilidades}\begin{cases}d\ a\ b\\ d\ a\ c\\ \vdots\\ d\ c\ b\\ \end{cases}\\[/tex]
Podemos verificar no demonstrativo acima que o algarismo [tex]a[/tex] aparece 6 vezes na coluna das unidades, 6 vezes na coluna das dezenas e 6 vezes na coluna das centenas. O mesmo acontece com os algarismos [tex]b, c, d[/tex], os quais também aparecem 6 vezes nas colunas das unidades, das dezenas e das centenas.
Somando, portanto, todos estes números construídos na forma demonstrada obteremos o seguinte resultado:
[tex]\text{Soma = }\underbrace{100\times(6a+6b+6c+6d)}_{centenas} +\underbrace{10\times(6a+6b+6c+6d)}_{dezenas}+\\\\+\underbrace{1\times(6a+6b+6c+6d)}_{unidades}=\\\\ =600(a+b+c+d)+60(a+b+c+d)+6(a+b+c+d)=\\\\ =666(a+b+c+d)=\\\\ =111 \times6(a+b+c+d)[/tex]
Fica demonstrado, portanto, que a soma destes números é um múltiplo de 111.
OLÁ ACCACIO!!!
COMO SÃO 4 ALGARISMOS ( A,B,C,D) , E TEMOS QUE FORMAR NÚMEROS DE 3 ALGARISMOS DISTINTOS
TEMOS 4.3.2 DE POSSIBILIDADES OU SEJA APENAS 24 NÚMEROS.
COMO SÃO POUCOS VOU FAZER TODOS E SOMA-LOS
ABC
ABD
ACB
ACD
ADB
ADC
BAC
BAD
BCA
BCD
BDA
BDC
CAB
CAD
CBA
CBD
CDA
CDB
DAB
DAC
DBA
DBC
DCA
DCB
DEVEMOS PERCEBER QUE EM CADA COLUNA TEMOS 6 LETRAS DE CADA.
ASSIM: NA COLUNA DAS UNIDADES TEREMOS 6A+6B+6C+6D = 6(A+B+C+D)
NA COLUNA DAS DEZENAS : 6.10A+6.10B+6.10C+6.10D = 60.(A+B+C+D)
NA COLUNA DAS CENTENAS: 6.100A+6.100B+6.100C+6.100D = 600.(A+B+C+D)
Ao somarmos tudo :
600.(A+B+C+D)+60(A+B+C+D)+ 6.(A+B+C+D)
colocaremos (A+B+C+D) EM EVIDÊNCIA
(A+B+C+D)[ 600+60+6] = (A+B+C+D).666
QUE PODEMOS ESCREVER COMO 111. 6((A+B+C+D) LOGO É MÚLTIPLO DE 111.
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