A seguir, calcularemos o valor da área do triângulo ADC (área construída) com base na utilização das relações métricas do triângulo retângulo.
Olhe para a figura e imagine o triângulo ABC. Ele tem vértices nas extremidades do diâmetro e possui um vértice na própria circunferência, o que o caracteriza como retângulo, assim como ADC.
Vamos chamar o segmento DO de X.
Sendo o diâmetro 13cm, podemos afirmar que o raio mede 13/2 centímetros.
[tex]R=\dfrac{13}{2}\: cm[/tex]
Dessa forma, o segmento AD mede (13/2 - X) e o segmento BD mede (13/2 + X)
Sabemos que o segmento CD (altura do triângulo ABC) mede 6 cm.
Pelas relações métricas, temos:
[tex]h^2=m\cdot n[/tex]
[tex]CD^2=AD\cdot BD[/tex]
[tex]6^2=(\dfrac{13}{2}-x)\cdot (\dfrac{13}{2}+x)[/tex]
[tex]6^2=(\dfrac{13}{2})^2-x^2[/tex]
[tex]36=\dfrac{169}{4}-x^2[/tex]
[tex]x^2=\dfrac{169}{4}-\dfrac{144}{4}[/tex]
[tex]x^2=\dfrac{25}{4}[/tex]
[tex]x=\dfrac{5}{2}[/tex]
[tex]\boxed{DO=\dfrac{5}{2}\: cm}[/tex]
Logo, a medida AD será:
[tex]AD=\dfrac{13}{2}-\dfrac{5}{2}[/tex]
[tex]AD=\dfrac{8}{2}[/tex]
[tex]\boxed{AD=4\: cm}[/tex]
A área construída é igual à área do triângulo ADC, ou seja:
[tex]A_{ADC}=\dfrac{b\cdot h}{2}[/tex]
[tex]A_{ADC}=\dfrac{AD\cdot CD}{2}[/tex]
Temos as medidas dos lados AD e CD:
[tex]AD=4\: cm[/tex]
[tex]CD=6\: cm[/tex]
Como a escala é de 1:1000, temos de multiplicar cada uma dessas medidas por 1000 para encontrar o tamanho real:
[tex]AD=4.000\: cm[/tex]
[tex]CD=6.000\: cm[/tex]
Transformando para metros:
[tex]AD=40\: m[/tex]
[tex]CD=60\: m[/tex]
Calculando a área:
[tex]A_{ADC}=\dfrac{40\cdot 60}{2}[/tex]
[tex]A_{ADC}=\dfrac{2.400}{2}[/tex]
[tex]\boxed{\boxed{A_{ADC}=1.200\: m^2}}[/tex]
A área construída (área de ADC) vale 1200 metros quadrados.
Área de um triângulo qualquer:
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Circunferência e seus elementos:
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