Resposta:
a) x / ( 4 / 3 ) - y/1 = 1 Equação segmentária da reta “r”
b) A Equação Paramétrica da reta "r"
{ x = t + 5
{ y = - 8t / 3 – 16/3
Explicação passo-a-passo:
Enunciado:
a) Calcular a Equação Segmentária da reta r cuja equação Paramétrica é dada pelos valores:
x = 4t e y = 3t – 1.
b) Calcular a Equação Paramétrica da reta r cuja equação Segmentária é dada por:
x/3 + y/8 = 1
Resolução:
Nota prévia → As equações pedidas estão determinadas.
No entanto coloquei explicação quase total das etapas e cálculos feitos.
Quem quiser aprender como se faz , aqui está.
Revi várias vezes e espero não ter erros. Se os encontrar avise-me para eu os poder corrigir.
a) a Equação Segmentária da reta r cuja Equação Paramétrica é dada pelos valores:
x = 4t e y = 3t – 1
1ª etapa - Encontrar e equação geral da reta r
Resolver em ordem a “t” as duas equações dadas
x = 4t Dividir ambos os membros da equação por 4
x/4 = 4t/4
No 2º membro, o 4 do numerador cancela-se com o 4 do denominador
x/4 = t
Agora y = 3t – 1
Passar – 1 para o 1º membro, trocando o sinal
y + 1 = 3t Dividir tudo por 3
( y + 1 ) / 3 = 3t/3
No 2º membro o 3 do numerador cancela-se com o 3 do denominador
( y + 1 ) / 3 = t
Preste-se atenção agora.
Temos que t = x/4 e t = ( y + 1 ) / 3
Porque o “t” é igual a duas coisas diferentes , ao mesmo tempo, então essas coisas diferentes são iguais entre si.
x/4 = ( y + 1 ) / 3
Multiplicar a fração no 1º membro por 3.
Multiplicar a fração no 2º membro por 4.
Objetivo é que tenhamos só frações com o mesmo denominador.
3x /(3*4) = (4 * ( y + 1)) / (3*4)
3x/12 = (4 * ( y + 1)) / 12
Agora que todas as frações, na equação, têm o mesmo denominador podemos retirar os denominadores
3x = 4 * ( y + 1)
Usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ( conhecida vulgarmente como regra do “chuveirinho” )
3x = 4 * y + 4 * 1
3x = 4y + 4
Passar tudo para 1º membro, trocando o sinal
3x – 4y – 4 = 0
Temos a equação geral da reta
2ª etapa – Encontrar a equação segmentária
3x – 4y – 4 = 0
Passar “- 4” para 2º membro
3x – 4 y = 4
Dividindo por 4, todos os termos
3x/4 – 4y / 4 = 4 / 4
3x/4 – y/1 = 1
Dividir o termo 3x/4 por 3 = x / ( 4 /3 )
x / ( 4 / 3 ) - y/1 = 1 Equação segmentária da reta “r”
ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº
b) a Equação Paramétrica da reta r cuja equação Segmentária é dada por:
[tex]\frac{x}{3} + \frac{y}{8} = 1[/tex]
1ª etapa - Encontrar e equação geral da reta r
x/3 + y/8 = 1
⇔ x/3 + y/8 = 1/ 1
Multiplicar a 1ª fração por 8 ; a 2ª fração por 3 ; e a 3ª fração por 24
⇔ 8x/( 3*8 ) + 3y/ (8 * 3) = 24/24
⇔ 8x/24 + 3y/24 = 24/24
Agora que estão todos os denominadores iguais, na equação, podem ser retirados.
⇔ 8x + 3y = 24
( em termos exatos a Equação Geral da reta é 8x + 3y - 24 = 0 ;
mas como a seguir se vai passar o "- 24" para o 2º membro,
já se deixou lá ficar )
2ª etapa - Obter a Equação Paramétrica
Por escolha nossa ( e existem uma infinidade de escolhas possíveis)
vai-se mudar de variável:
Dizemos que escolhemos que
x = t + 5 ( escolhido por nós)
Então
8 * ( t + 5 ) + 3y = 24
8t + 40 + 3y = 24
Resolvendo em ordem a “y” , no 1º membro fica apenas o termo em y
3y = - 8t – 40 + 24
3y = - 8t – 16
Dividindo tudo por 3
3y/3 = - 8t / 3 – 16/3
y = - 8t / 3 – 16/3
Temos assim a Equação Paramétrica de reta “r” ( na realidade é um sistema duas equações a duas incógnitas )
{ x = t + 5
{ y = - 8t / 3 – 16/3
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Sinais: ( * ) multiplicar ( / ) dividir
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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.
Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a
resolução a possa compreender otimamente bem.
