Derivando ambos os lados da igualdade da curva em relação a [tex]x[/tex], ficamos com:
[tex]\frac{d}{dx}(5x^2+y^2)=\frac{d}{dx}(5)[/tex]
[tex]\frac{d}{dx}(5x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)=0[/tex]
[tex]10x+2yy'=0[/tex]
[tex]2yy'=-10x[/tex]
[tex]y'=-\frac{5x}{y}[/tex]
O coeficiente angular da reta tangente deve ser igual à derivada da curva, logo:
[tex]y'=\frac{y-(-1)}{x-(-2)}[/tex]
[tex]-\frac{5x}{y}=\frac{y+1}{x+2}[/tex]
[tex]y(y+1)=-5x(x+2)[/tex]
[tex]y^2+y=-5x^2-10x[/tex]
[tex]5x^2+y^2+y+10x=0[/tex]
O ponto de interseção entre a reta e a curva deve satisfazer à equação de ambas, logo podemos substituir [tex]5x^2+y^2[/tex] por 5 na equação acima, ficando com:
[tex]5+y+10x=0[/tex]
[tex]y=-10x-5[/tex]
Substituindo o valor acima na equação da curva:
[tex]5x^2+(-10x-5)^2=5[/tex]
[tex]5x^2+100x^2+100x+25=5[/tex]
[tex]105x^2+100x+20=0[/tex]
[tex]21x^2+20x+4=0[/tex]
[tex]x=\frac{-20\pm\sqrt{20^2-4\cdot21\cdot4}}{42}[/tex]
[tex]x=\frac{-20\pm\sqrt{64}}{42}[/tex]
[tex]x=\frac{-20\pm8}{42}[/tex]
[tex]x=\frac{-10\pm4}{21}[/tex]
[tex]x\in\{-2/7, -2/3\}[/tex]
Estas são as coordenadas em [tex]x[/tex] dos pontos de interseção das retas tangentes com a curva. Substituindo esses valores em [tex]y=-10x-5[/tex], achamos que as coordenadas em [tex]y[/tex] são [tex]y\in\{-15/7,5/3\}[/tex].
Dessa forma, não temos apenas uma, mas duas retas tangentes. Uma que passa por (-2, -1) e (-2/7, -15/7) e outra que passa por (-2, -1) e (-2/3, 5/3). No caso da primeira reta, ela possui como equação:
[tex]\frac{-15/7-(-1)}{-2/7-(-2)}=\frac{y-(-1)}{x-(-2)}[/tex]
[tex]\frac{-15/7+1}{-2/7+2}=\frac{y+1}{x+2}[/tex]
[tex]\frac{-8/7}{12/7}=\frac{y+1}{x+2}[/tex]
[tex]\frac{-8}{12}=\frac{y+1}{x+2}[/tex]
[tex]\frac{-2}{3}=\frac{y+1}{x+2}[/tex]
[tex]3(y+1)=-2(x+2)[/tex]
[tex]3y+3=-2x-4[/tex]
[tex]3y=-2x-7[/tex]
[tex]y=\frac{-2x-7}{3}[/tex]
Vamos agora à equação da reta que passa por (-2, -1) e (-2/3, 5/3):
[tex]\frac{5/3-(-1)}{-2/3-(-2)}=\frac{y-(-1)}{x-(-2)}[/tex]
[tex]\frac{5/3+1}{-2/3+2}=\frac{y+1}{x+2}[/tex]
[tex]\frac{8/3}{4/3}=\frac{y+1}{x+2}[/tex]
[tex]\frac{8}{4}=\frac{y+1}{x+2}[/tex]
[tex]2=\frac{y+1}{x+2}[/tex]
[tex]y+1=2(x+2)[/tex]
[tex]y+1=2x+4[/tex]
[tex]y=2x+3[/tex]
Segue abaixo uma representação gráfica do problema.
