Resposta:
b)
Explicação passo-a-passo:
Considerando que estamos trabalhando com números reais, o fato de [tex]x[/tex] ser o radicando de uma raiz quadrada e ele ser o denominador de uma divisão implica que [tex]x>0[/tex].
Podemos então dizer que [tex]\sqrt{x}+\sqrt{1/x}>0[/tex] logo podemos elevar ambos os lados da inequação ao quadrado da seguinte forma:
[tex]\left(\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^2\leq(2)^2[/tex]
[tex](\sqrt{x})^2+\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^2+2\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{\frac{1}{x}}\leq 4[/tex]
[tex]x+\frac{1}{x}+2\cdot\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}\leq 4[/tex]
[tex]x+\frac{1}{x}+2\cdot\sqrt{1}\leq 4[/tex]
[tex]x+\frac{1}{x}+2\leq 4[/tex]
[tex]x+\frac{1}{x}\leq 2[/tex]
Lembrando que [tex]x>0[/tex], podemos multiplicar ambos os lados da inequação por [tex]x[/tex], ficando com:
[tex]x^2+1\leq 2x[/tex]
[tex]x^2-2x+1\leq 0[/tex]
Aplicando a fórmula de Bhaskara na equação [tex]x^2-2x+1=0[/tex]:
[tex]x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1}}{2}[/tex]
[tex]x=\frac{2\pm\sqrt{4-4}}{2}[/tex]
[tex]x=\frac{2\pm\sqrt{0}}{2}[/tex]
[tex]x=\frac{2}{2}=1[/tex]
Como a parábola do polinômio [tex]x^2-2x+1[/tex] têm concavidade voltada para cima e possui raízes idênticas, não existem valores de [tex]x[/tex] tais que [tex]x^2-2x+1<0[/tex]. Concluímos então que a única solução é [tex]x=1[/tex].
