Resposta:
a) Função é sempre negativa exceto quando x = 1 em que a função é nula
b) Função é sempre positiva.
c) Função negativa entre ] 3 ; 5 [ e
Função positiva em ] - ∞ ; 3 [ e em ] 5 ; + ∞ [
d) Função sempre positiva , exceto em x = 0 em que é nula.
e) Função positiva entre ] - 3 ; 1/3 [
Função negativa em ] - ∞ ; - 3 [ e em ] 1/3 ; + ∞ [
( tem em ficheiro anexo os gráficos destas cinco funções ; para aceder clicar em "baixar pdf " )
Explicação passo-a-passo:
Enunciado:
Faça o estudo de sinal de cada uma das funções quadráticas abaixo:
a) y = − x² + 2x − 1
b) y = 3x² - x + 4
c) y = x² - 8x + 15
d) y = 3x²
e) y = - 3x² - 8x + 3
Resolução:
Nota prévia:
Vou analisar os seguintes aspetos das funções:
1) análise do Δ ( binómio discriminante )
2) determinar as raízes
3) fazer o estudo do sinal, mediante os dados obtidos
a) y = − x² + 2x − 1
Multiplicar tudo por "- 1 "
- ( x² - 2x + 1 ) = 0
1) análise do Δ ( binómio discriminante )
Δ = b² - 4 * a * c
a = 1
b = - 2
c = 1
Δ = ( - 2 )² - 4 * 1 * 1 = 4 - 4 = 0
Quando Δ = 0 , só existe uma raiz real
2) determinar as raízes
- ( x² - 2x + 1 )= 0
Este é um produto notável. É o quadrado de uma diferença
⇔ - ( x - 1 )² = 0
⇔ - ( x - 1 ) = 0
⇔ - x + 1 = 0
⇔ - x = - 1
⇔ x = 1
3) fazer o estudo do sinal, mediante os dados obtidos
Como a = - 1 logo < 0 , a parábola tem a concavidade virada para baixo
Como a função só tem uma raiz, apenas toca ( é tangente) no eixo dos xx
Estudo do sinal:
Função é sempre negativa exceto quando x = 1 em que a função é nula
ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº
b) y = 3x² - x + 4
1) análise do Δ ( binómio discriminante )
Δ = b² - 4 * a * c
a = 3
b = - 1
c = 4
Δ = ( - 1 )² - 4 * 3 * 4 = 1 - 48 = - 47
Por a = 3 logo > 0 , a função tem concavidade virada para cima
2) determinar as raízes
Como Δ = - 47 logo negativo , não existem soluções pertencentes aos números reais.
Estudo do sinal:
Função é sempre positiva.
ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººº
c) y = x² - 8x + 15
1) análise do Δ ( binómio discriminante )
Δ = b² - 4 * a * c
a = 1
b = - 8
c = 15
Δ = ( - 8 )² - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4
Δ = 4 logo Δ > 0 . existem duas raízes pertencentes a R e são distintas.
2) determinar as raízes
Usar fórmula de Bhaskara
x = ( - b ±√Δ ) /2a
y = x² - 8x + 15
a = 1
b = - 8
c = 15
Δ = ( - 8 )² - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4
√Δ = √4 = 2
x' = ( - ( - 8 ) + 2 ) / ( 2 * 1 )
x' = ( 8 + 2 ) / 2
x' = 10/2
x' = 5
x'' = ( - ( - 8 ) - 2 ) / ( 2 * 1 )
x'' = ( 8 - 2 ) / 2
x'' = 6/2
x'' = 3
3) fazer o estudo do sinal, mediante os dados obtidos
a = 1 logo > 0 , concavidade virada para cima
Função negativa entre ] 3 ; 5 [ ;
Função positiva em ] - ∞ ; 3 [ e em ] 5 ; + ∞ [
ººººººººººººººººººººººººººººººººº
d) y = 3x²
Nota → qualquer valor ao quadrado vem positivo.
Um valor positivo a multiplicar por um número positivo vem positivo
3) fazer o estudo do sinal
Função sempre positiva , exceto em x = 0 em que é nula.
ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº
e) y = - 3x² - 8x + 3
1) análise do Δ ( binómio discriminante )
Δ = b² - 4 * a * c
a = - 3
b = - 8
c = 3
Δ = ( - 8 )² - 4 * ( - 3 ) * 3 = 64 + 36 = 100
2) determinar as raízes
Usar fórmula de Bhaskara
x = ( - b ±√Δ ) /2a
y = - 3x² - 8x + 3
a = - 3
b = - 8
c = 3
Δ = ( - 8 )² - 4 * ( - 3 ) * 3 = 64 + 36 = 100
√Δ = √100 = 10
x' = ( - ( - 8 ) + 10 ) / ( 2 * ( - 3 ) )
x' = ( 8 + 10 ) / ( - 6 )
x' = 18 / ( - 6 )
x' = - 3
x'' = ( - ( - 8 ) - 10 ) / ( 2 * ( - 3 ) )
x'' = ( 8 - 10 ) / ( - 6 )
x'' = - 2 / ( - 6 )
x'' = 1/3
3) fazer o estudo do sinal
a = - 3 logo < 0 , concavidade virada para baixo
Função positiva entre ] - 3 ; 1/3 [ ;
Função negativa em ] - ∞ ; - 3 [ e em ] 1/3 ; + ∞ [
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Sinais: ( * ) multiplicar ( / ) dividir ( < ) menor do que
( > ) maior do que ( ∞ ) infinito
( x ' e x'' ) são nomes dados às raízes da função
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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.
Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a
resolução a possa compreender otimamente bem.
