Oi Robson, tudo jóia?
Explicação geral ponto-a-ponto:
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1) Pontos de máximo e mínimo: f'(x) = 0
f'(x) = - 3x² + 30x
0 = - 3x² + 30x
0 = x(- 3x + 30)
{ x = 0 (A)
{ -3x + 30 = 0 -> { x = 10 (B)
A - Substituindo x = 0 em f''(x) = - 6x + 30:
f''(0) = - 6*0 + 30
f''(0) = 30 > 0
Como f''(0) > 0, a abscissa x = 0 corresponde a um mínimo local. Esse ponto de mínimo é:
f(x) = - x³ + 15x²
f(0) = - 0³ + 15*0²
f(0) = 0
Ponto de mínimo local: (0, 0)
B - Substituindo x = 10 em f''(x) = - 6x + 30:
f''(10) = - 6*10 + 30
f''(10) = - 60 + 30
-> f''(10) = -30 < 0
Como f''(10) < 0, a abscissa x = 10 corresponde a um máximo local. Esse ponto de máximo é:
f(x) = - x³ + 15x²
f(10) = - 10³ + 15*10²
f(10) = - 1000 + 1500
f(10) = 500
Ponto de máximo local: (10, 500)
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2) Pontos de inflexão: f''(x) = 0
f''(x) = - 6x + 30
0 = - 6x + 30
6x = 30
x = 5
Com abscissa x = 5, o ponto de inflexão é:
f(x) = - x³ + 15x²
f(5) = - 5³ + 15*5²
f(5) = - 125 + 15*25
f(5) = - 125 + 375
f(5) = 250
Ponto de inflexão: (5, 250).
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3) Ponto de cruzamento com eixo y: x = 0
f(x) = - x³ + 15x²
f(0) = - 0³ + 15*0²
f(0) = 0
Ponto de cruzamento com eixo y: (0, 0) (que coincide com o ponto de mínimo local)
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4) Intervalos de crescimento/decrescimento:
Conhecendo o ponto de mínimo local (0, 0) e o ponto de máximo local (10, 500):
-∞ < x < 0: decrescimento (f'(x) < 0)
0 < x < 10: crescimento (f'(x) > 0)
10 < x < +∞: decrescimento (f'(x) < 0)
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5) Taxas de crescimento/decrescimento:
Como o ponto de inflexão (5, 250) ocorre depois do ponto de mínimo (0, 0) e antes do ponto de máximo (10, 500):
- ∞ < x < 5: inclui o ponto de mínimo (0, 0). Portanto, tem-se f''(x) > 0.
5 < x < +∞: inclui o ponto de máximo (10, 500). Portanto, tem-se f''(x) < 0.
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Gráfico: >> Imagem acima
