[tex]\{5x+y-z=0\\\{-x-y+z=1\\\{3x-y+z=2[/tex]
Primeiro vamos descobrir o valor deste "x", para isso basta somarmos a primeira equação com a segunda ou a terceira, vamos somar com a segunda que é mais simples:
[tex](5x+y-z)+(-x-y+z)=0+1\\5x+y-z-x-y+z=1\\4x=1[/tex]
[tex]x=\frac{1}{4}[/tex]
Agora vamos substituir o "x" na no sistema:
[tex]\{5.\frac{1}{4} +y-z=0\\\{-\frac{1}{4} -y+z=1\\\{3.\frac{1}{4} -y+z=2[/tex]
[tex]\{\frac{5}{4} +y-z=0\\\{-\frac{1}{4} -y+z=1\\\{\frac{3}{4} -y+z=2[/tex]
[tex]\{y-z=-\frac{5}{4} \\\{ -y+z=1+\frac{1}{4} \\\{ -y+z=2-\frac{3}{4}[/tex]
[tex]\{y-z=-\frac{5}{4} \\\{ -y+z=\frac{4}{4} +\frac{1}{4} \\\{ -y+z=\frac{8}{4} -\frac{3}{4}[/tex]
[tex]\{y-z=-\frac{5}{4} \\\{ -y+z=\frac{5}{4} \\\{ -y+z=\frac{5}{4}[/tex]
[tex]\{y-z=-\frac{5}{4}\\\{y-z=-\frac{5}{4}\\\{y-z=-\frac{5}{4}[/tex]
Note que ao substituirmos o "x" as três equações se tornaram a mesma impossibilitando uma única solução para "y" e "z".
Temos então que [tex]x=\frac{1}{4}[/tex] e as incógnitas [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex] podem assumir infinitos valores desde que obedeçam a relação [tex]y-z=-\frac{5}{4}[/tex].
Isso torna o sistema Possível e indeterminado.