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[tex]\large\boxed{\sf a)~\red{120~anagramas}}[/tex]
[tex]\large\boxed{\sf b)~\red{24~anagramas}}[/tex]
[tex]\large\boxed{\sf c)~\red{48~anagramas}}[/tex]
[tex]\large\boxed{\sf d)~\red{6~anagramas}}[/tex]
Explicação passo-a-passo:
Temos cinco letras distintas para usarmos no primeiro dígito. Podemos usar {P, R, O, V ou A}. Ao usarmos por exemplo a letra P, no primeiro dígito, não poderemos usar P novamente no segundo dígito, assim, no segundo dígito temos apenas quatro letras distintas.
Ao usarmos por exemplo a letra R, no segundo dígito, teremos apenas três letras no terceiro dígito e assim sucessivamente, ou seja, temos a condição de:
[tex]\sf \boxed{\sf 5} \times \boxed{\sf 4} \times \boxed{\sf 3} \times \boxed{\sf 2} \times \boxed{\sf 1}[/tex]
Ou seja:
[tex]\sf 5! \rightarrow 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \large\red{120}[/tex]
______________________________
[tex]\sf \boxed{\sf P} \rightarrow \boxed{?} \times \boxed{?} \times \boxed{?} \times \boxed{?}[/tex]
Ou seja, fixamos apenas a letra P no início e faremos a ánalise apenas com quatro letras. Ou seja, 4 fatorial.
[tex]\sf 4! \rightarrow 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \large\red{24}[/tex]
______________________________
Fixaremos a primeira vogal "O" ao início.
[tex]\sf \boxed{\sf O} \rightarrow \boxed{?} \times \boxed{?} \times \boxed{?} \times \boxed{?}[/tex]
Temos a mesma condição que na letra B.
[tex]\sf 4! \rightarrow 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \large\red{24}[/tex]
Mas, temos 2 vogais distintas. Ou seja, teremos o dobro da condição, porque faremos o mesmo com a letra "A" que fizemos com a letra "O".
Logo, 24 anagramas com a letra inicial "O" e 24 anagramas com a letra inicial "A".
Portanto;
[tex]\sf c) ~24 + 24 \rightarrow \large\red{48}[/tex]
______________________________
Fixaremos a letra P no início e a letra A ao final.
Dessa forma, trabalharemos apenas com a ánalise em cima de 3 letras.
[tex]\sf \boxed{\sf P} \rightarrow \boxed{?} \times \boxed{?} \times \boxed{?} \leftarrow \boxed{\sf A}[/tex]
Ou seja, 3 fatorial:
[tex]\sf 3! \rightarrow 3 \times 2 \times 1 = \large\red{6}[/tex]
Espero que eu tenha ajudado
Bons estudos ^^
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[tex]\boxed{\begin{array}{l}\rm a)~\sf\underbrace{\sf PROVA}_{\sf P_5}=5!=120\\\rm b)~\sf\underbrace{\sf \boxed{\sf P}ROVA}_{\sf P_4}=4!=24\\\rm c)~\sf\underbrace{\sf\boxed{\sf A}PROV}_{2\cdot P_4}=2\cdot4!=48\\\rm d)~\sf\underbrace{\sf \boxed{\sf P}ROV\boxed{\sf A}}_{\sf P_3}=3!=6\end{array}}[/tex]
