Temos os seguintes dados:
[tex]A(3,2,0),\: \vec{u} = (0,-2,3)\:e \: \vec{v} = (1,2,4) \\[/tex]
Para encontrar a equação vetorial do plano que passa por um ponto e tem dois vetores diretores, devemos usar a seguinte relação:
[tex]\pi: X = A + \lambda_1.\vec{u} + \lambda_2.\vec{v}[/tex]
Observe os elementos dessa relação acima são justamente os dados que possuímos, então vamos substituí-los nos seus devidos locais:
[tex] \boxed{\pi: X = (3,2,0) + \lambda_1.(0,-2,3)+ \lambda_2.(1,2,4)}[/tex]
Espero ter ajudado
✅ Depois de ter resolvido todos os cálculos, concluímos que a equação vetorial do plano "π" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\pi: (x, y, z) = (3, 2, 0) + \lambda_{1}(0, -2, 3) + \lambda_{2}(1, 2, 4) \end{gathered}$}[/tex]
Se nos foi dado o seguinte:
[tex]\Large\begin{cases}A(3, 2, 0)\\\vec{u} = (0, -2, 3) \\\vec{v} = (1, 2, 4)\end{cases}[/tex]
Sabendo que para encontrar a equação vetorial do plano devemos ter um ponto pertencente ao plano e dois vetores diretores do referido plano.
Para isso, devemos utilizar a seguinte estratégia:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{AP} = \lambda_{1}\vec{u} + \lambda_{2}\vec{v} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}P - A = \lambda_{1}\vec{u} + \lambda_{2}\vec{v} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}P = A + \lambda_{1}\vec{u} + \lambda_{2}\vec{v},\:\:\:com\:\lambda_{1},\:\lambda_{2}\in\mathbb{R} \:\:e\:\:\vec{u}\nparallel\vec{v}\end{gathered}$}[/tex]
Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\pi:(x, y, z) = (3, 2, 0) + \lambda_{1}(0, -2, 3) + \lambda_{2}(1, 2, 4) \end{gathered}$}[/tex]
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