Questão contextualizada sobre Triângulos Retângulos.
Revisão :
➤ Área de um triângulo qualquer :
Área [tex]= $\dfrac{base.altura}{2}$[/tex]
- Observação : Em um triângulo retângulo a situação é um pouco diferente pois a altura e base dessa figura correspondem aos seus próprios catetos.
➤ Área de um triângulo retângulo :
Área [tex]= $\dfrac{cateto.cateto}{2}$[/tex]
↳ Chamando de ''b'' e ''c'' os catetos e de ''a'' a sua hipotenusa nós ficamos com o seguinte :
Área [tex]= $\dfrac{b.c}{2}$[/tex]
➤ Perímetro desse triângulo :
↳ Como o perímetro de uma figura geométrica corresponde a soma de todos os seus lados é tido :
Perímetro [tex]= hipotenusa[/tex] [tex]+[/tex] [tex]cateto[/tex] [tex]+[/tex] [tex]cateto[/tex]
Perímetro [tex]= a + b + c[/tex]
Cálculos :
- 1º Passo ➜ Fazer as substituições necessárias de acordo com os dados da questão.
Considerando que o cateto maior seja aquele que eu chamei anteriormente de ''b'' e tido que esse cateto vale 12 cm :
Área [tex]= $\dfrac{12.c}{2}$[/tex] ➜ Área = [tex]6.c[/tex]
Perímetro [tex]= a + c + 12[/tex]
- 2º Passo ➜ Igualar as expressões encontradas anteriormente (Visto que a questão nos contou que a Área e o Perímetro desse triângulo são equivalentes).
Área = Perímetro
[tex]6c = a + c + 12[/tex]
[tex]6c - c = a + 12[/tex]
[tex]5c = a + 12[/tex]
Note que nós chegamos em uma relação de equivalência entre os lados dessa figura. Como o exercício quer o valor da sua hipotenusa eu vou isolar a mesma :
[tex]5c = a + 12[/tex] ➝ [tex]a = 5c - 12[/tex]
- 3º Passo ➜ Aplicar o Teorema de Pitágoras
↳ Por que utilizar esse Teorema ?
- Estamos trabalhando com um triângulo retângulo
- Faltam dados para trabalharmos com as relações obtidas anteriormente
[tex]hip^{2} = cat^{2} + cat^{2}[/tex]
[tex]a^{2} = b^{2} + c^{2}[/tex]
[tex](5c - 12)^{2} = 12^2 + c^2[/tex]
[tex](5c - 12)^2[/tex] ➝ 2 Métodos Resolutivos
- ↳ Fatoração (Quadrado da Diferença) : ''Quadrado do primeiro - 2 vezes primeiro vezes o segundo + Quadrado do segundo''
- ↳ Propriedade Distributiva : ''Método do chuveirinho''
[tex](5c - 12)^2 = (5c)^2 - 2.5c.12 + 12^2[/tex] ➜ [tex](5c - 12)^2 = 25c^2 - 120c + 144[/tex]
[tex]25c^2 - 120c + 144 =[/tex] [tex]12^2 + c^2[/tex]
[tex]25c^2 - 120c + 144 =[/tex] [tex]144 + c^2[/tex]
[tex]25c^2 - c^2 - 120c + 144 - 144 = 0[/tex]
[tex]24c^2 - 120c = 0[/tex]
- 4º Passo ➜ Resolver a Equação do 2º Grau que foi chegada.
➤ Equação Quadrática Incompleta :
↳ O que é ?
Uma equação quadrática é uma igualdade entre termos que tem como característica o fato de uma das suas variáveis (incógnitas) estar elevada ao expoente 2. Esse tipo de equação é definida de maneira genérica pela seguinte expressão :
[tex]ax^2 + bx + c = 0[/tex] , em que :
- a ➝ coeficiente que acompanha o x²
- b ➝ coeficiente que acompanha o x
- c ➝ termo independente
↳ Equação Incompleta ?
Uma equação do 2º grau pode ser incompleta quanto aos termos ''b'' e ''c''. Ou seja, em uma equação incompleta esses termos poderão ser nulos.
No caso do exercício note que não há nenhum termo sozinho na nossa equação, logo ela é incompleta em relação ao termo ''c''.
↳ Como Resolver ?
- Como ambos os coeficientes ''a'' e ''b'' compartilham da mesma incógnita é possível utilizar a técnica do Fator Comum em Evidência.
[tex]24c^2 - 120c = 0[/tex]
[tex]c.(24c - 120) = 0[/tex]
- Observação : Em uma multiplicação cujo resultado seja igual a zero um dos seus fatores deve obrigatoriamente ser zero. Portanto :
[tex]c = 0[/tex] ou [tex]24c - 120 = 0[/tex]
Veja que o resultado (c = 0) não convém pois ''c'' representa a medida de um dos lados do nosso triângulo e não tem como um segmento de lado medir 0 cm.
[tex]24c - 120 = 0[/tex]
[tex]24c = 120[/tex]
[tex]c = $\dfrac{120}{24}$[/tex] ⇔ [tex]c = 5[/tex] [tex]cm[/tex]
- 5º Passo ➜ Utilizar a relação de equivalência para encontrar a hipotenusa.
[tex]a = 5c - 12[/tex] ➝ [tex]a = 5.5 - 12[/tex] ⇔ [tex]a = 25 - 12[/tex] [tex]= 13[/tex] [tex]cm[/tex] (Alternativa A)
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