Resposta:
2 cm
Explicação passo-a-passo:
Primeiro, temos em mente que a fórmula da área de uma circuferência é , nesse caso, temos que a área é igual a [tex]\pi r^2[/tex]. Agora, a questão nos pede em quanto centímetros o raio deve ser aumentado para que a nova área seja igual a [tex]144\pi[/tex]. Primeiramente, analisando a fórmula, temos
[tex]\pi r^2 = 100\pi[/tex]
Note que podemos cortar o de ambos os lados, ficando apenas com, [tex]r^2 = 100[/tex], sabemos que com isso, o raio é igual a 10cm (pois [tex]r = \sqrt{100} = 10[/tex])
Agora, vamos analisar a segunda área dada pelo problema, veja como ele diz que devemos aumentar o raio por um valor desconhecido, de modo que dê [tex]144\pi[/tex].
[tex]\pi (r + x) = 144\pi[/tex]
O [tex]x[/tex] é nosso valor desconhecido de soma do raio (chave da questão), podemos cortar o [tex]\pi[/tex] novamente, e ficaremos com um produto notável, lembrando que o quadrado da soma é o quadrado do primeiro + 2 vezes o primeiro pelo segundo + o segundo ao quadrado. E que [tex]r = 10[/tex]
[tex]10^2 + 2(10\cdot x) + x^2 = 144\\100 + 20x + x^2 = 144\\20x + x^2 = 44[/tex]
Nessa situação, caimos em uma equação de segundo grau, reposicionando ela na forma [tex]ax^2 + bx + c = 0[/tex], teremos
[tex]x^2 + 20 - 44 = 0[/tex]
Descobrindo a discriminante [tex]\Delta[/tex], temos
[tex]\Delta = (20)^2 - 4\cdot (1\times - 44)[/tex]
Com isso, temos que a discriminante é igual a 576. Jogando na fórmula de Bhaskara
[tex]\displaystyle x = \frac{-(20)\pm \sqrt{576}}{2}[/tex]
A raíz de 576 é exata e é igual a 24, portanto temos dois valores possíveis pra [tex]x[/tex]
[tex]\displaystyle x = \frac{-20 - 24}{2} = -22[/tex]
ou
[tex]\displaystyle x' = \frac{-20 + 24}{2} = 2[/tex]
Como uma resposta negativa nesse contexto não faz sentido, ficamos apenas com 2.
