Equação da reta tangente:
y = dy/dx * x + b
Procedendo (x - 4)² + (y - 5)² = 20 em "x", a equação de dy/dx é:
(x - 4)² + (y - 5)² = 20
d(x - 4)²/dx + d(y - 5)²/dx = d(20)/dx
d(x - 4)²/dx + d(y - 5)²/dy * dy/dx = 0
2(x - 4) + 2(y - 5)*dy/dx = 0
2(y - 5)*dy/dx = - 2(x - 4)
(y - 5)*dy/dx = - (x - 4)
dy/dx = - (x - 4)/(y - 5)
------------------------------------
Se a abscissa é x0 = 2, a ordenada y é:
(x0 - 4)² + (y0 - 5)² = 20
(2 - 4)² + (y0 - 5)² = 20
(-2)² + (y0 - 5)² = 20
4 + (y0 - 5)² = 20
(y0 - 5)² = 16
{ y0 - 5 = 4 ==> { y0 = 9
{ y0 - 5 = -4 ==> { y0 = 1
Portanto, a abscissa x0 = 2, tem duas ordenadas: y0 = 1 e y0 = 9.
-----------------------------------------
1 - Ordenada y = 1: reta tangente ao ponto (x0, y0) = (2, 1).
==> Valor de dy/dx:
dy/dx = - (x0 - 4)/(y0 - 5)
dy/dx = - (2 - 4)/(1 - 5)
dy/dx = - (-2)/(-4)
dy/dx = - 1/2
> Aplicando a equação da reta tangente novamente:
y = dy/dx * x + b
y = - x/2 + b
Substituindo (x0, y0) = (2, 1) em y = - x/2 + b, o valor de b é:
y0 = - x0/2 + b
1 = - 2/2 + b
1 = - 1 + b
b = 2
Portanto, a equação da reta tangente à circunferência (x - 4)² + (y - 5)² = 20 no ponto (2, 1) é:
y = - x/2 + 2 ( I )
------------------------------------
2° ponto. Ordenada y = 9: reta tangente ao ponto (x0, y0) = (2, 9).
Valor de dy/dx:
dy/dx = - (x0 - 4)/(y0 - 5)
dy/dx = - (2 - 4)/(9 - 5)
dy/dx = - (-2)/(4)
dy/dx = 1/2
Equação da reta tangente:
y = dy/dx * x + b
y = x/2 + b
Substituindo (x0, y0) = (2, 9) em y = x/2 + b, o valor de b é:
y0 = x0/2 + b
9 = 2/2 + b
9 = 1 + b
=> b = 8
Portanto, a equação da reta tangente à circunferência (x - 4)² + (y - 5)² = 20 no ponto (2, 9) é:
===> y = x/2 + 8 ( II )
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Retas tangentes à circunferência (x - 4)² + (y - 5)² = 20:
P (2, 1):
y = - x/2 + 2
P (2, 9):
y = x/2 + 8
