matheus7553
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A equação da reta tangente à circunferência (x – 4)2 + (y – 5)2 = 20 e que a tangencia no ponto de abscissa 2 é:​

Sagot :

victortimao122p6mch3

Equação da reta tangente:

y = dy/dx * x + b

Procedendo (x - 4)² + (y - 5)² = 20 em "x", a equação de dy/dx é:

(x - 4)² + (y - 5)² = 20

d(x - 4)²/dx + d(y - 5)²/dx = d(20)/dx

d(x - 4)²/dx + d(y - 5)²/dy * dy/dx = 0

2(x - 4) + 2(y - 5)*dy/dx = 0

2(y - 5)*dy/dx = - 2(x - 4)

(y - 5)*dy/dx = - (x - 4)

dy/dx = - (x - 4)/(y - 5)

------------------------------------

Se a abscissa é x0 = 2, a ordenada y é:

(x0 - 4)² + (y0 - 5)² = 20

(2 - 4)² + (y0 - 5)² = 20

(-2)² + (y0 - 5)² = 20

4 + (y0 - 5)² = 20

(y0 - 5)² = 16

{ y0 - 5 = 4 ==> { y0 = 9

{ y0 - 5 = -4 ==> { y0 = 1

Portanto, a abscissa x0 = 2, tem duas ordenadas: y0 = 1 e y0 = 9.

-----------------------------------------

1 - Ordenada y = 1: reta tangente ao ponto (x0, y0) = (2, 1).

==> Valor de dy/dx:

dy/dx = - (x0 - 4)/(y0 - 5)

dy/dx = - (2 - 4)/(1 - 5)

dy/dx = - (-2)/(-4)

dy/dx = - 1/2

> Aplicando a equação da reta tangente novamente:

y = dy/dx * x + b

y = - x/2 + b

Substituindo (x0, y0) = (2, 1) em y = - x/2 + b, o valor de b é:

y0 = - x0/2 + b

1 = - 2/2 + b

1 = - 1 + b

b = 2

Portanto, a equação da reta tangente à circunferência (x - 4)² + (y - 5)² = 20 no ponto (2, 1) é:

y = - x/2 + 2 ( I )

------------------------------------

2° ponto. Ordenada y = 9: reta tangente ao ponto (x0, y0) = (2, 9).

Valor de dy/dx:

dy/dx = - (x0 - 4)/(y0 - 5)

dy/dx = - (2 - 4)/(9 - 5)

dy/dx = - (-2)/(4)

dy/dx = 1/2

Equação da reta tangente:

y = dy/dx * x + b

y = x/2 + b

Substituindo (x0, y0) = (2, 9) em y = x/2 + b, o valor de b é:

y0 = x0/2 + b

9 = 2/2 + b

9 = 1 + b

=> b = 8

Portanto, a equação da reta tangente à circunferência (x - 4)² + (y - 5)² = 20 no ponto (2, 9) é:

===> y = x/2 + 8 ( II )

------------------------------------

Retas tangentes à circunferência (x - 4)² + (y - 5)² = 20:

P (2, 1):

y = - x/2 + 2

P (2, 9):

y = x/2 + 8

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