Olá, boa tarde.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre matrizes.
Sejam as matrizes [tex]M[/tex] e [tex]N[/tex], de ordem [tex]2[/tex]. Sabemos que [tex]\det(M)=2[/tex] e [tex]\det(N)=8[/tex].
Devemos determinar o valor de [tex]\det((2\cdot M^T) \cdot(4\cdot N^{-1}))[/tex]
Para isso, utilizaremos quatro propriedades:
- O determinante do produto entre duas ou mais matrizes é calculado pelo Teorema de Binet: [tex]\boxed{\bold{\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)}}[/tex].
- O determinante do produto entre uma constante e uma matriz de ordem [tex]n[/tex] é dado por: [tex]\boxed{\bold{\det(k\cdot A_{n\times n})=k^n\cdot\det(A)}}[/tex].
- O determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original: [tex]\boxed{\bold{\det(A^T)=\det(A)}}[/tex]
- O determinante de uma matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original: [tex]\boxed{\bold{\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}}}[/tex].
Assim, fazemos:
[tex]\det(8\cdot M^T\cdot N^{-1})[/tex]
Visto que as matrizes são de ordem [tex]2[/tex], aplique a segunda propriedade:
[tex]8^2\cdot\det(M^T\cdot N^{-1})\\\\\\ 64\cdot\det(M^T\cdot N^{-1})[/tex]
Aplique o Teorema de Binet
[tex]64\cdot\det(M^T)\cdot\det(N^{-1})[/tex]
Aplique a terceira e quarta propriedades
[tex]64\cdot\det(M)\cdot\dfrac{1}{\det(N)}[/tex]
Substitua os valores cedidos pelo enunciado
[tex]64\cdot2\cdot\dfrac{1}{8}[/tex]
Multiplique os valores
[tex]16[/tex]
Este é o valor desta expressão.
