Radiciação é a forma de conhecermos a raiz um determinado número. Sendo um tipo de representação de expoentes fracionários.
Para entender radiciação é necessário entender também potenciação, que é ao inverso da radiciação.
Seja a um número real não negativo e n um número natural, com n ≥ 1, chamamos de raiz enésima de a se, e somente se, o número real x, não negativo, elevado ao expoente n, resulta em a, tal que
[tex] {x}^{n} = a[/tex]
Para representarmos radicais utilizamos o símbolo √, chamado de radical.
Dessa forma,
[tex] \sqrt[n]{a} = b[/tex]
Onde n é o índice da raiz, a é o radicando e b a raiz. Leia-se: raiz enésima de a é igual a b.
Exemplo:
[tex] \sqrt[3]{27} = 3[/tex]
(Leia-se: raiz cúbica de 27 é igual a 3)
[tex] \sqrt{16} = 4 \: pois \: {4}^{2} = 16[/tex]
(Leia-se: raiz quadrada de 16 é igual a 4), quando não aparece o índice consideramos esse índice igual a 2.
[tex] \sqrt[3]{8} = 2 \: pois \: {2}^{3} = 8[/tex]
[tex] \sqrt[4]{81} = 3 \: pois \: {3}^{4} = 81[/tex]
(Leia-se: raiz quarta de 81 é igual a 3)
A raiz quadrada de um número a é b, quando o elevamos b ao expoente 2, encontramos a. Veja o exemplo abaixo.
Exemplo:
[tex] \sqrt{9} = 3[/tex]
Leia-se: raiz quadrada de 9 é igual a 3. Neste caso, a raiz quadrada de 9 é 3, pois quando elevamos 3 ao expoente 2 encontramos o número 9.
Observação: quando não aparece o índice na raiz temos que esse índice é o número 2.
Da mesma forma que a raiz quadrada, a raiz cúbica de um número a é b, quando elevamos b a um expoente 3, temos a. Isso pode ficar mais claro com um exemplo. Veja!
Exemplo:
[tex] \sqrt[3]{27} = 3[/tex]
Nesse caso, a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3 elevado ao expoente 3 é o próprio número 27.
Observações
Pela definição ocorre que
[tex]( \sqrt[n]{ {a}^{n} }) = a[/tex]
para qualquer a ≥ 0.
Também pela definição é possível observar que:
(imagem)
[tex] \sqrt[n]{0} = 0[/tex]
[tex] \sqrt[n]{1} = 1[/tex]
[tex] \sqrt[n]{ {a}^{n} } = a[/tex]
Nesse último caso podemos simplificar quando o índice é igual ao expoente, eliminando-o (“cortando”).
Seja a e b pertencente ao conjuntos dos números reais positivos, m pertencente ao conjuntos dos números inteiros e n e p pertencente ao conjunto dos naturais maiores que zero, temos as seguintes propriedades:
Radical de um produto
Quando temos no radicando uma multiplicação, podemos separar em radicais diferentes com mesmo índice.
Exemplo:
[tex] \sqrt[n]{a \times b} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} [/tex]
Quando temos uma divisão no radicando, podemos ter uma divisão de radicais.
Exemplo:
[tex] \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } [/tex]
com b diferente de zero.
Se quisermos mudar o índice de um radical, podemos dividir o índice e o expoente do radicando por um número natural maior que zero.
Exemplo:
[tex] \sqrt[n]{ {a}^{m} } = \sqrt[n \div p]{ {a}^{m \div p} } [/tex]
Quando temos uma raiz elevada a um expoente, podemos atribuir esse expoente ao radicando.
Exemplo:
[tex]( \sqrt[n]{a} {)}^{m} = \sqrt[n]{ {a}^{m} } [/tex]
Quando temos uma raiz dentro da outra podemos simplificá-la colocando o radicando em uma só raiz e multiplicando os índices.
Exemplo:
[tex] \sqrt[p]{ \sqrt[n]{a} } = \sqrt[n \times p]{a} [/tex]
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