Resposta:
[tex]a_2=\frac{39}{20}[/tex]
Explicação passo-a-passo:
A soma dos [tex]n[/tex] primeiros termos de uma PA é dada pela fórmula:
[tex]S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}[/tex]
Sendo [tex]r[/tex] a razão da PA, temos que [tex]a_{10}=a_1+9r[/tex], logo:
[tex]S_{10}=30[/tex]
[tex]\frac{(a_1+a_1+9r)\cdot 10}{2}=30[/tex]
[tex]2a_1+9r=6[/tex]
Podemos dizer que a soma dos 10 últimos termos é igual à soma de todos os termos - a soma dos 10 primeiros termos, logo:
[tex]S_{20}-S_{10}=60[/tex]
[tex]S_{20}-30=60[/tex]
[tex]S_{20}=90[/tex]
Sendo [tex]a_{20}=a_1+19r[/tex], ficamos com:
[tex]\frac{(a_1+a_1+19r)\cdot20}{2}=90[/tex]
[tex]2a_1+19r=9[/tex]
Ficamos então com o seguinte sistema:
[tex]\left\{\begin{matrix}2a_1+9r=6\\2a_1+19r=9\end{matrix}\right.[/tex]
Multiplicando a 1º equação por -1:
[tex]\left\{\begin{matrix}-2a_1-9r=-6\\2a_1+19r=9\end{matrix}\right.[/tex]
Somando os termos de ambas as equações:
[tex]-2a_1-9r+2a_1+19r=-6+9[/tex]
[tex]10r=3[/tex]
[tex]r=\frac{3}{10}[/tex]
Sendo [tex]2a_1+9r=6[/tex]:
[tex]2a_1+9\cdot\frac{3}{10}=6[/tex]
[tex]2a_1+\frac{27}{10}=6[/tex]
[tex]2a_1=6-\frac{27}{10}[/tex]
[tex]a_1=\frac{33}{20}[/tex]
Sendo o 2º termo [tex]a_2[/tex] igual a [tex]a_1+r[/tex], concluímos que:
[tex]a_2=\frac{33}{20}+\frac{3}{10}[/tex]
[tex]a_2=\frac{39}{20}[/tex]
