Temos a seguinte integral:
[tex]\int\limits_{0}^{7\pi} [ \sin(x )] {}^{2} + [ \cos(x) ] {}^{2} \: dx \\ [/tex]
Para resolver essa integral, basta lembrarmos da relação fundamental da trigonometria:
[tex] \boxed{ [ \sin(x) ] {}^{2} + [ \cos(x) ] {}^{2} = 1 }[/tex]
Portanto, vamos substituir esses dado:
[tex] \int [ \sin(x) ] {}^{2} + [ \cos(x) ] {}^{2} \: dx \to \int 1dx \\ \\ \int 1dx \to \boxed{ x + k, \: k\in\mathbb{R}}[/tex]
Agora é só aplicar o teorema da variação (Teorema Fundamental do Cálculo - TFC), logo:
[tex] x + k \bigg |_{0}^{7\pi} \to 7\pi + k - (0 + k) \\ \\ 7\pi + k - 0 - k \to \boxed{7\pi \: \: ou \: \: 21,98 }[/tex]
Outra forma de fazer é utilizar aqueles dados referentes a sen²(x) e cos²(x):
[tex] [ \sin (x)] {}^{2} \to \frac{1 - \cos(2x)}{2} \: \: e \: \: [ \cos(x )] {}^{2} \to \frac{1 + \cos(2x)}{2} \\ [/tex]
Substituindo essas informações na integral, teremos que:
[tex]\int\limits_{0}^{7\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(2x)}{2} \: dx \\ [/tex]
Aplicando a integral nas duas funções (nesse momento vamos esquecer os limites):
[tex] \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx + \frac{1 + \cos(2x)}{2}dx \\ \\ \int \frac{1}{2} .(1 - \cos(2x)) \: dx + \int \frac{1}{2} .(1 + \cos(2x) )\: dx \\ \\ \frac{1}{2} \int 1 - \cos(2x) \: dx + \frac{1}{2} \int1 + \cos(2x) \: dx \\ \\ \frac{1}{2} . \left(x - \frac{ \sin(2x)}{2} \right) + \frac{1}{2} . \left(x + \frac{ \sin(2x)}{2} \right) \\ \\ \frac{x}{2} - \cancel{ \frac{ \sin(2x)}{4}} + \frac{x}{2} + \cancel{ \frac{ \sin(2x)}{4} } \\ \\ \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \longrightarrow \boxed{x + k,\: k\in\mathbb{R}}[/tex]
Observe que o resultado foi o mesmo obtido ali em cima.
Espero ter ajudado
