Vamos utilizar a relação do termo geral da PG para reescrever os termos a₆ e a₁₂ em função do termo a₉ e da razão "q" da PG:
[tex]\boxed{Termo~Geral:~a_n~=~a_m\cdot q^{n-m}}[/tex]
[tex]a_6:~~\\\\~~~~~~a_6~=~a_9\cdot q^{6-9}\\\\~~~~~~\boxed{a_6~=~a_9\cdot q^{-3}}\\\\\\a_{12}:~~\\\\~~~~~~a_{12}~=~a_9\cdot q^{12-9}\\\\~~~~~~\boxed{a_{12}~=~a_9\cdot q^{3}}[/tex]
Efetuando agora o produto entre os dois termos pedido no enunciado:
[tex]a_6\cdot a_{12}~=~a_9\cdot q^{-3}\cdot a_9\cdot q^3[/tex]
Com a propriedade comutativa da multiplicação, vamos reorganizar os fatores:
[tex]a_6\cdot a_{12}~=~a_9\cdot a_9\cdot q^{-3}\cdot q^3[/tex]
Utilizando agora a propriedade do produto entre potencias de mesma base:
[tex]a_6\cdot a_{12}~=~a_9^{1+1}\cdot q^{-3+3}\\\\\\a_6\cdot a_{12}~=~a_9^{2}\cdot q^{0}\\\\\\a_6\cdot a_{12}~=~a_9^{2}\cdot 1\\\\\\\boxed{a_6\cdot a_{12}~=~a_9^{2}}[/tex]
Temos então que o produto entre os termos a₆ e a₁₂ é igual ao quadrado do termo a₉. Substituindo o valor:
[tex]a_6\cdot a_{12}~=~a_9^2\\\\\\a_6\cdot a_{12}~=~1^2\\\\\\\boxed{a_6\cdot a_{12}~=~1}~~ \Rightarrow~Resposta[/tex]
O mesmo exercício poderia ter sido feita utilizando duas "propriedades" de PG's: produto dos extremos e termo central de 3 termos consecutivos.
Produto dos extremos: O produto entre dois elementos equidistantes dos extremo da progressão será sempre o mesmo.
Exemplo:
[tex]Seja~a~PG~~\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7\},~temos:\\\\\boxed{a_1\cdot a_7~=~a_2\cdot a_6~=~a_3\cdot a_5}[/tex]
Termo central entre 3 consecutivos: Sejam 3 termos termos consecutivos como, por exemplo, a₁, a₂ e a₃, o termo central (nesse exemplo a₂) será dado pela média geométrica entre os termos adjacentes, ou seja:
[tex]\boxed{a_2~=~\sqrt{a_1\cdot a_3}}[/tex]
Vamos aplicar essas propriedades na PG dada.
Como podemos ver abaixo, os termos a₆ a₁₂ são equidistantes dos extremos.
[tex]\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10},a_{11},a_{12},a_{13},a_{14},a_{15},a_{16},a_{17}\}[/tex]
O mesmo se pode dizer para outros pares de termos, incluindo a₉ e a₁₀.
"Traduzindo", temos:
[tex]\boxed{a_6\cdot a_{12}~=~a_{8}\cdot a_{10}}[/tex]
Ainda, note que, para a sequencia a₈, a₉, a₁₀, a₉ é termo central, logo podemos utilizar a propriedade do termo central entre 3 consecutivos:
[tex]a_9~=~\sqrt{a_8\cdot a_{10}}\\\\\\a_9~=~\sqrt{a_6\cdot a_{12}}\\\\\\a_9^2~=~a_6\cdot a_{12}\\\\\\a_6\cdot a_{12}~=~a_9^2\\\\\\a_6\cdot a_{12}~=~1^2\\\\\\\boxed{a_6\cdot a_{12}~=~1}[/tex]
[tex]\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio[/tex]
