[tex]f(x) = -2x^2 - 11x + 6[/tex]
Os coeficientes são:
a = -2
b = -11
c = 6
Inicialmente, podemos analisar o item c.
Se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima.
Se a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.
Como nosso coeficiente a é menor que 0, sua concavidade é para baixo e esse item está correto.
Para analisarmos o item a, precisamos calcular Δ.
Δ = [tex]b^2 - 4ac[/tex]
Δ = [tex](-11)^2 - 4 * (-2) * (6)[/tex]
Δ = [tex]121 + 48[/tex]
Δ = [tex]169[/tex]
Se Δ > 0, temos duas raízes reais e diferentes.
Se Δ = 0, temos um raiz.
Se Δ < 0, não temos raízes reais.
Portanto, como Δ = 169 temos duas raízes distintas e a resposta está correta.
O item b afirma que o gráfico possui valor máximo. Isso é trivial, uma vez que a parábola está voltada para baixo, existe um ponto de máximo nela. Para calculá-lo (o que não é necessário) devemos tomar o vértice dessa parábola.
[tex]x_{v} = \frac{-b}{2a} \\x_{v} = \frac{-(-11)}{2(-2)} \\x_{v} = \frac{11}{-4} \\x_{v} = -\frac{11}{4}[/tex]
[tex]y_{v} = \frac{-delta}{4a} \\y_{v} = \frac{-(169)}{4(-2)} \\y_{v} = \frac{-169}{-8} \\y_{v} = \frac{169}{8} \\y_{v} = \frac{169}{8}[/tex]
Portanto, o ponto do vértice ocorre em [tex](-\frac{11}{4}, \frac{169}{8})[/tex]
[tex]x' = \frac{-b + \sqrt{169} }{2a} \\x' = \frac{-(-11) + \sqrt{169} }{2(-2)} \\x' = \frac{11 + 13 }{-4} \\x' = \frac{24 }{-4} \\x' = -\frac{24}{4} \\x' = -6[/tex]
[tex]x'' = \frac{-b - \sqrt{169} }{2a} \\x'' = \frac{-(-11) - \sqrt{169} }{2(-2)} \\x'' = \frac{11 - 13 }{-4} \\x'' = \frac{ -2 }{-4} \\x'' = \frac{1}{2}[/tex]
Assim, obtivemos as duas raízes, que são [tex]-6[/tex] e [tex]\frac{1}{2}[/tex].
A soma das raízes é [tex]-6 + \frac{1}{2}[/tex]. Com isso, fica evidente que a soma das raízes é um número negativo, uma vez que [tex]- 6 > \frac{1}{2}[/tex].
Além disso, provamos que temos apenas uma raiz inteira, que é -6. Portanto, item d está incorreto.
Estou deixando o gráfico da função anexado.
