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1º) Desenvolva os seguintes binômios de newton:

a) ( x− 2)5

b) ( a+ 3)4

c) (3 − b)4

d) (5 +y )3

​

Sagot :

MatiasHP

Olá, siga a explicação abaixo:

Desenvolva os seguintes binômios de newton:

1° Questão:

Sendo:

[tex](x-2)^{5}[/tex]

Adotando a Fórmula de Newton:

[tex](x+a)^{n} = \sum ^{n}_{p=0} = \left[\begin{array}{c}n\\p\end{array}\right] x^{n-p} a^{p}[/tex]

[tex]x= x\\ a=-2\\ n= 5[/tex]

Logo:

[tex](x-2)^{5} \rightarrow \sum ^{5} _{p=0} \left[\begin{array}{cc}5\\p\end{array}\right] x^{5-p} \times -2^{p}[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{cc}n\\p\end{array}\right] = \frac{n!}{p!(n-p)!}[/tex]

Agora para cada, p, obtemos:

P=0

[tex]\frac{n!}{p!(n-p)!} \times x^{(n-p)} \times -2^{p} \rightarrow \frac{5!}{0!(5-0)!} \times x^{(5-0)} \times -2^{0} \rightarrow \frac{5!}{0!5!} \times x^{5} \times -2^{0} \\ \\ \rightarrow \frac{5!}{5!} \times x^{5} \times 1 = x^{5}[/tex]

P=1

[tex]\frac{n!}{p!(n-p)!} \times x^{(n-p)} \times -2^{p} \rightarrow \frac{5!}{1!(5-1)!} \times x^{(5-1)} \times -2^{1} \rightarrow \frac{5!}{1!4!} \times x^{4} \times -2^{1} \\ \\ \rightarrow \frac{5\times4}{5!} \times -2x^{4}} \rightarrow 5 \times -2^{4}= -10x^{4}[/tex]

P=2

[tex]\frac{n!}{p!(n-p)!} \times x^{(n-p)} \times -2^{p} \rightarrow \frac{5!}{2!(5-2)!} \times x^{(5-2)} \times -2^{2} \rightarrow \frac{5!}{2!3!} \times x^{3} \times 4 \\ \\ Se\:\: mantem: \\ \\ 40x^{3}[/tex]

P=3

[tex]\frac{n!}{p!(n-p)!} \times x^{(n-p)} \times -2^{p} \rightarrow \frac{5!}{3!(5-3)!} \times x^{(5-3)} \times -2^{3} \rightarrow \frac{5!}{3!2!} \times x^{2} \times 8 \\ \\ Fica:\\ \\ 80x^{2}[/tex]

P=4

[tex]\frac{n!}{p!(n-p)!} \times x^{(n-p)} \times -2^{p} \rightarrow \frac{5!}{4!(5-4)!} \times x^{(5-4)} \times -2^4} \rightarrow \frac{5!}{4!1!} \times x^{1} \times 16 \\ \\ E\:\: igual:\\ \\ 80x^{1}[/tex]

P=5

[tex]\frac{n!}{p!(n-p)!} \times x^{(n-p)} \times -2^{p} \rightarrow \frac{5!}{5!(5-5)!} \times x^{(5-5)} \times -2^5} \rightarrow \frac{5!}{5!0!} \times x^{0} \times 32 \\ \\ E\:\: igual:\\ \\ 32[/tex]

Logo o resultado será:

[tex](x-2)^{5}= x^{5} - 10x^{4} + 40 x^{3} - 80x^{2} + 80x^{1} - 32[/tex]

2° Questão:

Abordando o mesmo método:

[tex](a+3)^{4}= a^{4} + 12a^{3} + 54a^{2}+ 108a+81[/tex]

3° Questão:

Mantém:

[tex](3-b)4= 81-108b+54b^{2} - 12b^{3}+ b^{4}[/tex]

4° Questão:

Logo:

[tex](5 +y )^{3}= 125+75y+15y^{2} + y^{3}[/tex]

  • Att. MatiasHP
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