Não pode ter número negativo dentro da raiz se a solução permite apenas o conjunto dos reais. Temos então como primeira condição de existência que:
[tex]2x-1\geq 0\\2x\geq 1[/tex]
[tex]x\geq \frac{1}{2}[/tex]
Vamos desenvolver um pouco a expressão para ficar clara a segunda condição de existência:
[tex]\frac{\sqrt{2x-1} }{x-2}<1[/tex]
[tex]\sqrt{2x-1}<x-2[/tex]
Note que se a parte depois do sinal for negativa, a primeira parte também terá que ser negativa visto que tem que ser menor que a segunda. O problema é que não é possível obter resultado negativo de uma raiz quadrada, então a segunda parte não pode ser negativa. Também não pode ser igual a 0, pois teríamos uma divisão por 0 se isso ocorresse:
[tex]x-2 > 0[/tex]
[tex]x> 2[/tex]
A terceira condição é mais elaborada, vamos ter que desenvolver a expressão:
[tex]\frac{\sqrt{2x-1} }{x-2}<1[/tex]
[tex]\sqrt{2x-1}<x-2[/tex]
[tex]2x-1<(x-2)^2[/tex]
[tex]2x-1<x^2-4x+4[/tex]
[tex]-x^2+2x+4x-1-4<0[/tex]
[tex]-x^2+6x-5<0[/tex]
A função do segundo grau a esquerda possui concavidade voltada para baixo (coeficiente "a" negativo) neste caso, ela cumprirá o requisito de ser menor que 0 antes de menor raiz e depois da maior raiz. Vamos calcular estas raízes através da fórmula de Bhaskara:
[tex]\triangle=6^2-4.(-1).(-5)=36-20=16[/tex]
[tex]x_1=\frac{-6+\sqrt{16} }{2.(-1)}=\frac{-6+4}{-2}=\frac{-2}{-2}=1[/tex]
[tex]x_2=\frac{-6-\sqrt{16} }{2.(-1)}=\frac{-6-4}{-2}=\frac{-10}{-2}=5[/tex]
Temos então a terceira condição:
[tex]x<1\ ou\ x>5[/tex]
Agora precisamos encontrar uma solução de intervalos que satisfaça as três condições de existência desta equação:
[tex]x\geq \frac{1}{2}[/tex]
[tex]x> 2[/tex]
[tex]x<1\ ou\ x>5[/tex]
Os números que são maiores ou iguais a [tex]\frac{1}{2}[/tex] e, ao mesmo tempo, maiores que 2, são os próprios números maiores que 2. Então a segunda condição elimina a necessidade da primeira.
A condição de que x tem que ser maior que 2 exclui a opção dele ser menor que 1.
Os números que satisfazem as duas condição restantes [tex]x> 2[/tex] e [tex]x>5[/tex] são todos os números maiores que 5.
Temos finalmente o conjunto solução definido por (5, ∞).