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Duas antenas de telefonia celular foram instaladas em uma região plana. Ao representar a posição dessas antenas em um plano Argand-Gauss, com graduação dos eixos em quilômetros, temos que elas correspondem aos números complexos z = A) 1 – i e w = 4 + 3i. A distância, em km, entre essas antenas é de: *
B) 6
C) 10
D) 8
E) 7
F) 5

Sagot :

CyberKirito

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Distância entre dois pontos no plano cartesiano

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{c}\sf Dados~A(x_A,y_A)~e~B(x_B,y_B)~dois~pontos~quaisquer\\\sf no~plano~cartesiano~a~dist\hat ancia~entre~A~e~B~\acute e\\\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf d_{A,B}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}}}}\end{array}}[/tex]

[tex]\sf A(1,-1)~B(4,3)\\\sf d_{A,B}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\\sf d_{A,B}=\sqrt{(4-1)^2+(3-[-1])^2}\\\sf d_{A,B}=\sqrt{3^2+4^2}\\\sf d_{A,B}=\sqrt{9+16}\\\sf d_{A,B}=\sqrt{25}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf d_{A,B}=5~km}}}}\checkmark[/tex]

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SwiftTaylor

A distância entre as duas antenas é de  [tex]\boxed{\boxed{\sf 5~Km}}[/tex]

Definimos geometricamente o módulo de um número complexo [tex]\sf z=x+yi[/tex], com [tex]\sf x\in\mathbb{R}~e ~y\in\mathbb{R}[/tex], como a distância entre a origem O do sistema de coordenadas cartesianas e o ponto P(x,y).

Algebricamente, indicamos módulo do número complexo Z por [tex]\sf |z|[/tex]. Utilizando o teorema de Pitágoras.

  • De forma resumida a distância entre dois pontos correspondentes aos números complexos Z e W é o módulo da diferença entre ele, ou seja [tex]\sf |z-w|[/tex].  

Resolvendo

Inicialmente, escrevemos o número complexo [tex]\sf z=\dfrac{2+4i^{47}}{3-i}[/tex] na forma [tex]\sf z=a+bi[/tex].

[tex]\sf \displaystyle \sf \sf z=\dfrac{2+4i^{47}}{3-i}=\frac{2+4i^{11\cdot4+3}}{3-i} =\frac{2+4i^{3}}{3-i} =\frac{2+4i}{3-i} \cdot\frac{3+i}{3-i}=\frac{6+2i-12I-4i^2}{9+1}[/tex] [tex]\sf =\dfrac{10-10i}{10}=1-i[/tex]

  • Em seguida, calculamos a distância entre z e w:

[tex]\sf |z-w|=|(1-i)-(4+3i)|=|-3-4i|=\sqrt{(-3)^2}+(-4)^2 =\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5[/tex]

Conclusão:

A distância entre as duas antenas é de  [tex]\boxed{\boxed{\sf 5~Km}}[/tex]

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