Temos os seguintes pontos:
[tex]A(4,4,0) ,\: \: B (4,0,0) \: \: e \: \: C (0, 4,3) [/tex]
Para encontrar a área desse triângulo, vamos usar um pouco de álgebra linear. O triângulo não possui nenhum dos lados paralelos, então podemos trazer os vetores para a origem sem problema nenhum, ou seja, fazer a subtração dos pontos finais pelos iniciais, então digamos que os vetores sejam dados por [tex]\vec{AB}\: e\:\vec{ AC}[/tex], isto é:
[tex] \vec{AB} =B - A \longrightarrow (4,0,0) -(4,4,0) \\\vec{AB} = (0 \: , - 4\: , 0)\\ \vec{ AC} =C - A\longrightarrow (0, 4,3) - (4,4,0) \\ \vec{ AC} = ( - 4,0,3)[/tex]
Agora para calcular a área, basta calcular o módulo do produto vetorial desses dois vetores:
[tex] | | \vec{AB } \times \vec{AC}| | = | |(0 \: , - 4\: , 0) \times ( - 4,0,3) | | \\ [/tex]
Para calcular o produto vetorial basta montar uma matriz 3x3 com a primeira linha formada por as componentes dos vetores sobre os eixos x, y e z, que são i, j e k, então:
[tex] \begin{bmatrix}i&j&k \\0 & - 4 &0 \\ - 4&0&3\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}i&j \\0 & - 4 \\ - 4&0\end{bmatrix} \\ \\ \boxed{\vec{AB } \times \vec{AC} = - 12i - 6j}[/tex]
Para finalizar é só retirar o módulo desse resultado, para isso basta usar a relação e Pitágoras e esquecer as componentes i e j:
[tex] || \vec{AB} \times \vec{AC} || = \sqrt{( - 12) {}^{2} + ( - 6) {}^{2} } \\ \\ || \vec{AB} \times \vec{AC} || = \sqrt{144 + 36} \\ \\ || \vec{AB} \times \vec{AC} || = \sqrt{180} \\ \\ \boxed{ || \vec{AB} \times \vec{AC} || = 6 \sqrt{5} \: u.a}[/tex]
Espero ter ajudado
