Considerando uma PA que satisfaz as condições:
I. último termo valendo 999
II. primeiro termo valendo 3
III. n + r valendo 254
Temos então que: aₙ = 999, a₁ = 3 e n + r = 254.
ㅤ
Veja que o objetivo da questão é determinar o número de termos. Dessa forma, vemos que nos falta a razão, então podemos encontrá-la na condição III.:
[tex]\begin{array}{l}\\\sf n+r=254\\\\\sf -n+n+r=254-n\\\\\!\boxed{\sf r=254-n} \\ \\ \end{array}[/tex]
Assim substituindo os dados na fórmula do termo geral da PA:
[tex]\begin{array}{l}\\\sf a_n=a_1+(n-1)\cdot r\\\\\sf 999=3+(n-1)\cdot(254-n)\\\\\sf 999=3+254n-n^2-254+n\\\\\sf 999=-n^2+255n-251\\\\\sf -999-n^2+255n-251=999-999\\\\\sf -n^2+255n-1250=0\\\\ \end{array}[/tex]
Veja que surgiu uma equação do 2º grau. Resolvendo pelo método da fatoração:
[tex]\begin{array}{l}\\\sf -n^2+5n+250n-1250=0\\\\\sf -n(n-5)+250(n-5)=0\\\\\sf (n-5)\cdot(-n+250)=0\\\\\begin{cases}\sf n-5=0\\\\\sf -n+250=0\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf 5+n-5=0+5\\\\\sf -250-n+250=0-250\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf n=5\\\\\sf -n=-250\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf n'=5\\\\\sf n''=250\end{cases}\\\\\end{array}[/tex]
Assim, podemos afirmar que o número de termos desta PA é de 5 termos, ou de 250 termos.
ㅤ
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
Veja mais sobre PA:
