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Sagot :
Utilizando definições de equação reduzida de circunferência e metodo de completar quadrados, temos que a equação reduzida da circunferência interna é dada por: [tex](x-5.4)^2+(y+3.2)^2=(0.6)^2[/tex]
Explicação passo-a-passo:
Então temos a seguinte equação da circunferência externa:
[tex]x^2+y^2-10.8x+6.4y+38.59=0[/tex]
Porém sabemos que é melhor trabalhar com equação de circunferências da forma reduzida, que é dada por:
[tex](x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2[/tex]
Onde [tex](x_0,y_0)[/tex] são as coordenadas do centro da circunferência e [tex]R[/tex] é o raio da mesma.
Para escrevermos a nossa equação neste formato, precisamos utilizar a tecnica chamada de Completar Quadrados, que se resumo em isolar as partes de x das de y e tentar reescreve-las na forma de quadrados perfeitos, então vamos fazer isto:
[tex]x^2+y^2-10.8x+6.4y+38.59=0[/tex]
[tex](x^2-10.8x)+(y^2+6.4y)+38.59=0[/tex]
Agora que temos as duas isoladas, vamos ver como se da uma equação de quadrado perfeito:
[tex](x+a)^2=x^2+2ax+a^2[/tex]
Assim temos que quando abrimos uma equação de quadrado perfeito de constante 'a', ela possui quase o mesmo formato que os nossos termos isolados, onde no caso de x, o [tex]2ax[/tex] seria representado por [tex]-10.8x[/tex], ou seja, neste caso:
[tex]2a=-10.8[/tex]
[tex]a=-5.4[/tex]
Ou seja, o quadrado perfeito do termo termo em x é:
[tex](x-5.4)^2[/tex]
Agora vamos abrir este termo multiplicando para ver o resultado:
[tex](x-5.4)^2=x^2-10.8x+29.16[/tex]
Note que temos este termo 29.16, que não tinhamos antes, então para temos que eliminar ele dusbtraindo pelo lado de fora do nosso isolamento:
[tex](x^2-10.8x)+(y^2+6.4y)+38.59=0[/tex]
[tex](x-5.4)^2-29.16+(y^2+6.4y)+38.59=0[/tex]
Desta forma, quando o quadrado for reaberto, o -29.16 vai eliminar o +29.16 que vai surgir e ele volta a ser como era antes, logo, nada mudou.
Agora vamos fazer o mesmo processo para o termo isolado em y:
[tex](y+a)^2=y^2+2ay+a^2[/tex]
[tex]y^2+6.4y[/tex]
Assim:
[tex]2ay=6.4y[/tex]
[tex]a=3.2[/tex]
Completando quadrado, ficamos com:
[tex](y+3.2)^2=y^2+6.4y+10.24[/tex]
Para eliminarmos este 10.24 que surge, temos novamente que subtrai-lo do lado de fora do isolamento:
[tex](x-5.4)^2-29.16+(y^2+6.4y)+38.59=0[/tex]
[tex](x-5.4)^2-29.16+(y+3.2)^2-10.24+38.59=0[/tex]
Agora nossos termos já estão na forma de quadrados, basta somar os números que ficaram de fora:
[tex](x-5.4)^2+(y+3.2)^2+38.59-29.16-10.24=0[/tex]
[tex](x-5.4)^2+(y+3.2)^2-0.81=0[/tex]
Isolando o termo numerico:
[tex](x-5.4)^2+(y+3.2)^2=0.81[/tex]
E lembre-se que na equação reduzida da circunferência, o lado direito é o raio ao quadrado, então basta tirarmos a raiz deste valor e colocarmos o mesmo quadrado:
[tex](x-5.4)^2+(y+3.2)^2=0.81[/tex]
[tex](x-5.4)^2+(y+3.2)^2=(0.9)^2[/tex]
E finalmente temos a nossa equação reduzida, agora com isso sabemos que o centro da nossa circunfêrencia é o ponto (5.4 , -3.2) e o raio da nossa circunferência é de 0.9 metros.
Sabendo o raio de uma das circunferências podemos descobrir a outra, pois temos a formula de coroa circular:
[tex]A_c=\pi.R^2-\pi.r^2[/tex]
Onde 'R' é o raio maior da circunferencia de fora, que já sabemos que é 0.9 m, 'r' é o raio da circunferência de dentro e 'A' é a área que sabemos ser 1.35 m². Assim substituindo pi por 3 e os valores que conhecemos:
[tex]A_c=\pi.R^2-\pi.r^2[/tex]
[tex]1.35=3.(0.9)^2-3.r^2[/tex]
[tex]1.35=3.(0.81)-3.r^2[/tex]
[tex]1.35=2.43-3.r^2[/tex]
[tex]1.35-2.43=-3.r^2[/tex]
[tex]-1.08=-3.r^2[/tex]
[tex]r^2=0.36[/tex]
[tex]r=\sqrt{0.36}[/tex]
[tex]r=0.6[/tex]
Assim sabemos que o raio da circunferência de dentro vale 0.6 m, sabemos também que o centro desta é o mesmo que a externa, pois a duas são concentricas, logo, o centro é em (5.4 , -3.2).
Tendo este centro e o novo valor do raio, podemos substituir na equação da circunferência e acharmos esta:
[tex](x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2[/tex]
[tex](x-5.4)^2+(y+3.2)^2=(0.6)^2[/tex]
E assim temos a equação reduzida da circunferência interna [tex](x-5.4)^2+(y+3.2)^2=(0.6)^2[/tex].
OBS: Este formato já é o resultado, pois a questão não diz que quer o resultado explicitamento aberto, ou seja, retirando os valores de dentro dos parenteses, então esta equação acima é valida. Caso queira a equação aberta é só aplicar multiplicação distributiva nos parenteses, porém não recomendo, pois a forma reduzida é muito mais elegante e útil matematicamente.
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