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Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico da função f abaixo no ponto de abscissa indicado.

(a) f(x) = x^2 − 5x + 6, x0 = 2
(b) f(x) = (x − 1)/(x + 3), x0 = 3
(c) f(x) = sen x, x0 =π/4

Sagot :

Zecol

A reta [tex]g(x)[/tex] tangente à função [tex]f(x)[/tex] no ponto [tex]x=x_0[/tex] é dada por:

[tex]f'(x_0)=\frac{g(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/tex]

[tex]g(x)-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)[/tex]

[tex]g(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)[/tex]

Onde [tex]f'(x_0)[/tex] é igual à derivada de [tex]f(x)[/tex] no ponto [tex]x=x_0[/tex].

a)

Derivando [tex]f(x)[/tex], achamos que [tex]f'(x)=2x-5[/tex] logo [tex]f'(2)=2\cdot2-5=-1[/tex]. Temos então que:

[tex]g(x)=f(2)+f'(2)(x-2)[/tex]

[tex]g(x)=2^2-5\cdot2+6-(x-2)[/tex]

[tex]g(x)=-x+2[/tex]

b)

Derivando [tex]f(x)[/tex]:

[tex]f'(x)=\frac{\frac{d}{dx}(x-1)\cdot(x+3)-\frac{d}{dx}(x+3)\cdot(x-1)}{(x+3)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{1\cdot(x+3)-1\cdot(x-1)}{(x+3)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{x+3-(x-1)}{(x+3)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{4}{(x+3)^2}[/tex]

logo [tex]f'(3)=4/[(3+3)^2]=4/36=1/9[/tex]. Temos então que:

[tex]g(x)=f(3)+f'(3)(x-3)[/tex]

[tex]g(x)=\frac{3-1}{3+3}+\frac{1}{9}\,(x-3)[/tex]

[tex]g(x)=\frac{1}{3}+\frac{x}{9}-\frac{1}{3}[/tex]

[tex]g(x)=\frac{x}{9}[/tex]

c)

Derivando [tex]f(x)[/tex], achamos que [tex]f'(x)=\cos x[/tex] logo [tex]f'(\pi/4)=\cos\pi/4=\sqrt{2}/2[/tex]. Temos então que:

[tex]g(x)=f(\pi/4)+f'(\pi/4)(x-\pi/4)[/tex]

[tex]g(x)=\sin\pi/4+\frac{\sqrt{2}}{2}(x-\pi/4)[/tex]

[tex]g(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{x\sqrt{2}}{2}-\frac{\pi\sqrt{2}}{8}[/tex]

[tex]g(x)=\frac{4\sqrt{2}\,x+(4-\pi)\sqrt{2}}{8}[/tex]

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