Olá, bom dia.
Devemos resolver a seguinte integral:
[tex]\displaystyle{\int_1^e\left[\left(\dfrac{x}{e}\right)^x + \left(\dfrac{e}{x}\right)^x\right]\cdot\ln(x)\,dx}[/tex]
Primeiro, faça uma substituição [tex]u=\left(\dfrac{x}{e}\right)^x[/tex]. Calcule o logaritmo natural em ambos os lados da equação.
[tex]\ln(u)=\ln\left(\left(\dfrac{x}{e}\right)^x\right)[/tex]
Aplique as propriedades de logaritmo: [tex]\ln(e)=\log_e(e)=1,~\log_c(a^b)=b\cdot\log_c(a)[/tex] e [tex]\log_c\left(\dfrac{a}{b}\right)=\log_c(a)-\log_c(b)[/tex], satisfeitas as condições de existência.
[tex]\ln(u) = x\cdot\ln\left(\dfrac{x}{e}\right)\\\\\\ \ln(u) = x\cdot(\ln(x)-\ln(e))\\\\\\ \ln(u) = x\ln(x) - x[/tex]
Calcule a derivada em ambos os lados da equação em respeito à variável [tex]x[/tex], a fim de encontrar o diferencial [tex]du[/tex]
[tex](\ln(u))'=(x\ln(x) - x)'[/tex]
Lembre-se que:
- A derivada de uma função [tex]u=u(x)[/tex] é calculada pela regra da cadeia [tex](f(u))'=u'\cdot f'(u),~u'=\dfrac{du}{dx}[/tex] e é dita implícita.
- A derivada da função logaritmo natural é dada por: [tex](\ln(x))'=\dfrac{1}{x}[/tex].
- A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
- A derivada de um produto é calculada pela regra do produto: [tex](f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)[/tex].
- A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex](x^n)'=n\cdot x^{n-1}[/tex].
Aplique a regra da cadeia e da soma
[tex]\dfrac{1}{u} \cdot\dfrac{du}{dx}= (x\ln(x))'+(-x)'[/tex]
Aplique a regra do produto e da potência
[tex]\dfrac{1}{u}\cdot \dfrac{du}{dx}=(x)'\cdot\ln(x)+x\cdot(\ln(x))'-1[/tex]
Calcule as derivadas, multiplique e some os valores
[tex]\dfrac{1}{u}\cdot\dfrac{du}{dx}=\ln(x)+x\cdot\dfrac{1}{x}-1\\\\\\ \dfrac{1}{u}\cdot\dfrac{du}{dx}=\ln(x)[/tex]
Multiplique ambos os lados da equação pelo diferencial [tex]dx[/tex]
[tex]\dfrac{du}{u}=\ln(x)\,dx[/tex]
Observe que este elemento já está presente na integral.
Devemos ainda substituir o outro elemento da soma, porém observe que [tex]\left(\dfrac{e}{x}\right)^x = \dfrac{1}{\left(\dfrac{x}{e}\right)^x}=\dfrac{1}{u}[/tex].
Os limites de integração mudam, de forma que quando [tex]x=1,~u\rightarrow \dfrac{1}{e}[/tex] e quando [tex]x=e,~u\rightarrow 1[/tex].
A integral se torna:
[tex]\displaystyle{\int_{\frac{1}{e}}^1\left(u+\dfrac{1}{u}\right)\cdot\dfrac{du}{u}}[/tex]
Efetue a propriedade distributiva da multiplicação
[tex]\displaystyle{\int_{\frac{1}{e}}^11+\dfrac{1}{u^2}\,du}[/tex]
Lembre-se que:
- A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções
- A integral de uma potência é dada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1}[/tex].
- A integral definida de uma função, contínua em um intervalo [tex][a,~b][/tex] é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: [tex]\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}[/tex], em que [tex]F(x)[/tex] é a antiderivada de [tex]f(x)[/tex].
Aplique a regra da soma
[tex]\displaystyle{\int_{\frac{1}{e}}^11\,dx+\int_{\frac{1}{e}}^1\dfrac{1}{u^2}\,dx}[/tex]
Lembre-se que [tex]1=u^0[/tex] e [tex]\dfrac{1}{u^2}=u^{-2}[/tex] e aplique a regra da potência
[tex]\dfrac{u^{0+1}}{0+1}+\dfrac{u^{-2+1}}{-2+1}~\biggr|_{\frac{1}{e}}^1\\\\\\ u-\dfrac{1}{u}~\biggr|_{\frac{1}{e}}^1[/tex]
Aplique os limites de integração
[tex]1-\dfrac{1}{1}-\left(\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{\dfrac{1}{e}}\right)[/tex]
Calcule a fração de frações, efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os valores
[tex]1-1-\dfrac{1}{e}+e\\\\\\ e-\dfrac{1}{e}~\checkmark[/tex]
Este é o resultado desta integral.
