Tem-se uma matriz X = (xᵢⱼ)₂ₓ₂ que satisfaz a equação matricial dada, e ele pede o valor do traço de X
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Primeiro de tudo precisamos encontrar a matriz X, se encontra na forma:
[tex]\begin{array}{l}\sf X=\begin{bmatrix}\sf x_{11}&\sf x_{12}\\\sf x_{21}&\sf x_{22}\end{bmatrix}\\\\\end{array}[/tex]
Para não confundir a ordem dos elementos, vamos trocar pelas letras:
[tex]\begin{array}{l}\sf X=\begin{bmatrix}\sf w&\sf x\\\sf y&\sf z\end{bmatrix}\end{array}[/tex]
Agora, veja que na equação matricial tem-se a matriz Xᵗ, isso indica que é a matriz transposta de X. Para calcular (sendo a matriz 2x2) deve-se trocar os elementos da diagonal secundária de lugar
[tex]\begin{array}{l}\sf X^t=\begin{bmatrix}\sf w&\sf y\\\sf x&\sf z\end{bmatrix}\end{array}[/tex]
Agora vamos encontrar a matriz X - 2Xᵗ, basta substituir o que já encontramos:
[tex]\begin{array}{l}\sf X-2X^t=\begin{bmatrix}\sf w&\sf x\\\sf y&\sf z\end{bmatrix}-2\cdot\begin{bmatrix}\sf w&\sf y\\\sf x&\sf z\end{bmatrix}\end{array}[/tex]
Multiplique 2 por todos os elementos
[tex]\begin{array}{l}\sf X-2X^t=\begin{bmatrix}\sf w&\sf x\\\sf y&\sf z\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\sf 2w&\sf 2y\\\sf 2x&\sf 2z\end{bmatrix}\end{array}[/tex]
Como as matrizes possuem mesma ordem podemos subtrair os elementos de uma pelos respectivos da outra
[tex]\begin{array}{l}\sf X-2X^t=\begin{bmatrix}\sf w-2w&\sf x-2y\\\sf y-2x&\sf z-2z\end{bmatrix}\\\\\sf X-2X^t=\begin{bmatrix}\sf -w&\sf x-2y\\\sf y-2x&\sf-z\end{bmatrix}\end{array}[/tex]
Agora substituindo essa matriz na equação matricial que o enunciado nos deu:
[tex]\begin{array}{l}\sf X-2X^t=\begin{bmatrix}\sf 1&\sf -1\\\sf2&\sf3\end{bmatrix}\\\\\sf \begin{bmatrix}\sf-w&\sf x-2y\\\sf y-2x&\sf-z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sf 1&\sf -1\\\sf2&\sf3\end{bmatrix}\end{array}[/tex]
Basta igualar os elementos de uma matriz com os respectivos da outra:
[tex]\begin{array}{l}\sf \begin{bmatrix}\sf-w=1&\sf x-2y =-1\\\sf y-2x=2&\sf-z = 3\end{bmatrix}\\\\\sf \begin{bmatrix}\boxed{\sf w=-1}&\sf x-2y =-1\\\sf y-2x=2&\boxed{\sf z=-3}\end{bmatrix}\end{array}[/tex]
Veja que, como o objetivo da questão é determinar o valor do traço, ou seja ele quer que determine a soma dos elementos da diagonal principal. Já temos o que precisamos, pois a diagonal principal = w + z:
[tex]\begin{array}{l}\sf w+z=-1+(-3)\\\\\sf w+z=-1-3\\\\\!\boxed{\sf w+z=-4}\\\\\end{array}[/tex]
RESPOSTA: Letra A)
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Att. Nasgovaskov
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